范英梅

摘 要 本文结合作者多年的教学经验，从提高学生学习线性代数的积极性和培养学习能力方面给出一些具体做法。

关键词 线性代数 积极性 思考方法 学习能力

线性代数是高等院校理、工、农、医、经济、管理各个专业的一门重要公共基础課程，是一门介绍科学计算核心理论和基本方法的数学课程，它不仅是后续课程的基础，而且对培养学生的思维能力及解决实际问题的能力等都起着重要的作用。线性代数在应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长，而这一性能伴随着计算机软硬件的创新在不断提升。最终，计算机并行处理和大规模计算的迅猛发展将会把计算机科学与线性代数紧密地联系在一起，并广泛应用于解决飞机制造、桥梁设计、交通规划、石油勘探、、网络技术、经济管理、生物技术、航天、航海等领域的科学问题。针对《线性代数》概念多、定理多、运算规律多、前后知识联系紧密，内容抽象等特点，相当部分学生比较对难理解等等问题，笔者谈谈自己在教学中的具体做法。

1从问题出发，引入概念，并总结规律，从而培养学生的创新思维

在介绍代数概念前，笔者一般都尽量从问题出发，使学生更容易接受。下面用两个例子介绍笔者的教法。

一是在讲行列式概念之前向学生提问：两个未知数两个方程组成的线性方程组（即二元线性方程组）、三个未知数三个方程组成的线性方程组（即三元线性方程组）会解吗？同学们肯定回答说：会解。接着问：他们的解大家发现有什么特点或规律吗？ 基本上回答不上来。接着问：10个未知数10个方程组成的一次线性方程组好解吗？是不是要找规律？这么多变量的方程组写出解的过程是不是很长？为此我们是不是要找一种方便书写的方式？这样一层层提问后，最后把二元线性方程组用消元法得的解写出来，发现解具有非常好的规律，为了描述解的形式，再引出二阶、三阶行列式的概念，并把方程的解用行列式表示出来，明确告诉学生行列式就是一个在解方程组时为简化书写而引用的记号，在此基础上通过分析二阶、三阶行列式的项数及每项符号的规律，引入n阶行列式的概念，指出关于二元、三元线性方程组的解对于更高元的线性方程组也成立（即后面要学习的克莱姆法则）。随后的问题是一般的高阶行列式，用定义计算几乎行不通，于是要讨论行列式的性质，同时说明行列式是线性代数中的一个重要概念，它是求解某些线性方程组、判别方阵是否可逆、判别向量组的线性相关性及求方阵的特征值等的工具，从而引起学生重视。这里只是解决了线性方程组的一种特殊情形，即线性方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且方程组的系数行列式不等于零的情形。适时提出：未知数与方程个不相等的线性方程组求解问题，引入新的学习内容（后续学习内容），引导学生扩展思维。通过从学生们已经熟悉的解简单线性方程组这个过程及发现解形式的规律，告诉学生在实际生活中，解决完一个问题后，要多思考这种解决问题的思路和方法有没有普遍性，能否用它解决其它问题？这就是科学研究的基本思想。

二是介绍向量组的线性相关性概念时，笔者从简单的齐次线性方程组出发，看是否有多余的方程（即能用方程组中其它一个或多个方程表示）入手，引出向量组线性相关和线性无关的概念，即如果有多余方程，则系数矩阵的列向量组线性相关;如果没有多余方程，则系数矩阵的列向量组线性无关。同时向量组A（有m个向量） 线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。常把这个充要条件作为向量组线性相关的等价定义，即向量组A（有m个向量）中至少有一个向量能由其余向量线性表示，也就是A的m个向量至少有一个线性关系式，这就是这m个向量线性相关的涵义。而向量组A线性无关的充要条件是A中任意一个向量均不能由其余向量线性表示，形象地说，即”谁也表示不了谁“，这种”独立“性正是向量组A线性无关所包含的内在的意义。告诉学生们从这两个概念引伸到社会团体，如果团体成员都是核心成员（相当于线性无关），俗称一个萝卜一个坑，成员就不会轻意被淘汰。否则（相当于线性相关，能被其它向量线性表示的向量可以去掉）就会有成员随时会被淘汰。用简单的事例来说明学生们很易接受这个概念。最后再强调引入向量组线性相关性概念是为了更好地研究线性方程组解向量之间的关系：如齐次线性方程组有非零解（即有无穷多解）时，所有的解向量量构成的向量组是线性相关的，可用几个向量（即一个极大线性无关组）表示任一个解向量（引入后面章节要学习的内容），从而会引起他们的重视。

2从介绍计算方法的理论意义，提升学生的重视程度

学生认为线性代数中的计算简单而且繁琐，没有多大意义，不重视。笔者通常会解释，因为我们手工计算，不能太难，但它有重要的意义。例如，在介绍利用行列式的性质化行列式为上三角行列式的一般步骤：如果第一列第一个元素为0， 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值。这个方法看起来复杂，但它有很重要的理论意义，大部分用于计算行列式的计算机程序是按上述方法进行设计的。这就是我们为什么利用计算机软件，只要输入行列式中的数就很快得出结果，那是计算机编程技术人员事先按照这个过程编好程序，我们直接用而已。

在讲解一般的线性方程组时，强调利用矩阵表示的作用，它是在利用计算机计算高阶线性方程组时方便输入，利用矩阵的初等行变换法把矩阵化为行阶梯形，进一步化为行最简形解线性方程组的方法，同样具有很重要的理论意义，它是应用计算机计算高阶一般线性方程组的计算机编程的理论依据和编程的方法。

强调计算方法有重要的理论意义后，学生在思想上和行动上就不再轻视这些计算方法了。

3从一题多解出发，培养学生解决问题的思考方法

下面用两个例子从不同的角度出发，得出形式上不同的解法.

例1：计算，从三个不同的观察点出发，写出三种解法。

（1）注意到行列式中各列中4个数之和都为8，于是想把列中4个数相加起来，想到用行加，得到下面的解法。

（2）注意到行列式中各行中4个数之和都为8，于是想把行中4个数相加起来，想到用列加，得到下面的解法。

（3）注意到行列式中其它行与第一行相比，只有第一列及主对角线的元素不同，用其它行都减第一行化为箭形行列式，得到下面的解法。

例2：计算，从两个不同的观察点出发，写出二种解法。

（1）注意到行列式相邻列的特点，从左向右将每列依次加到相邻的右列，会得到特殊的行列式，于是有下面的解法。

（2）注意到行列式中除第四列外，其余各行中4个数之和都为0，于是要把行中4个数相加起来，想到用列加，得到下面的解法。

这两个例子的解法都可以推广到计算n阶行列式中去.

通过这两个例子的不同解决方法，向学生展示了，从不同的观察点出发考虑问题和解决问题，虽然解决问题的着手点不同，过程不同，最终殊途同归。教育学生们，在平常做作业或解决生活中的实际问题时，不要太死板和教条，要多角度考虑和实践，也许能发现比一般方法更好的办法去解决问题，这样就能拓宽途径。

4合理使用网络资源，培养学生查阅资料解决问题的能力

网络作为当今世界通用的信息工具，是我们学习知识的好帮手。一是课堂学习中存在的问题以及学习中不足之处、不明白的地方，筆者都是通过QQ、微信等移动信息平台及时与学生交流解答。从而可以解决学生学习中遇到问题无处可问的问题。二是要求学生借助MATLAB软件进行线性代数运算，笔者会给出几个具体的实例，要求学生解决。解决方法可以是学生自己通过网络搜索，查找资料，自己动手编写程序，进行实验解决大型计算问题，这样能解决没学这门课之前学生们觉得不可能的问题，从而达到调动学生学习兴趣。

5结束语

教学不仅仅是传授知识，而且它还是一门艺术，需要教师在教学实践中不断归纳总结，不断提高自身的素质。线性代数作为理工科及管理院校的一门重要的公共基础课，是科学与工程计算的核心。本文就笔者在线性代数课程教学中，探讨了教授这门课使用的几个具体教法，旨在最大限度地使学生不再感觉到线性代数太抽象及调动学生的学习积极性，使学生学到理论知识的同时更学到了思考问题方法和解决问题思路，从而达到开设这门课程的目的。

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