范韦莉

摘要：数学学科的育人价值主要体现于数学的理性精神以及蕴含其中的数学方法、数学思想。王凌老师教学《找规律》一课时，将学习活动镶嵌于“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的过程之中，引导学生养成“接着想下去”的数学思维，掌握由“例”到“类”的数学方法，获得“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的”数学思想。

关键词：小学数学数学思维数学方法数学思想《找规律》

近日，笔者有幸聆听了特级教师王凌教学六年级学生《找规律》一课。这节课的设计源于苏教版小学数学五年级下册《解决问题的策略》单元的例2“计算12+14+18+116”，即借助几何直观将一类分数连加式题进行转化。本节课，王老师试图通过这道题引导学生发现什么？传达给听课教师什么教学理念？笔者带着这样的问题走进了课堂，听后深受启发，感悟颇多。

一、教学过程

（一）什么是规律——由表象到本质的进阶

上课伊始，王老师询问学生有无这样的体会：“有时候，在作业或考试中总会遇到一些老师曾在课堂上讲过，甚至重点强调过的题目，但是自己还是做不出来;又或是本来会的题目，过了一段时间或者稍微变了一下，就不会做了……”显然，这个话题引起了学生的共鸣，几乎所有学生都表示自己有过这样的经历。对此，王老师指出：“目前，大多数同学学习时只关注知识，未考虑方法，也就是我们在学习某些内容的时候，看上去是会的，其实只是会了一道题，而并不知晓解决一类问题的方法，所以尽管做了很多道题，但并不表示我们真的懂了。”学生听了王老师的分析后深以为然，自然生发出对本节课学习的期待——从学生渴望的眼神中可以感受到，他们迫切地想改善自己的学习方式。

接着，王老师揭示：“本节课的主题是‘找规律，而刚才提到的‘方法就是本节课所要找的‘规律。”为了帮助学生弄清楚到底需要找出怎样的规律，王老师提供了以下两组例子：

例1（1）男生20人，女生24人，男生、女生一共多少人？

（2）山羊15只，绵羊23只，山羊、绵羊一共多少只？

例2（1）每块烧饼2元，买4块需要多少元？

（2）每本练习本3元，买10本需要多少元？

学生看到这两组问题后，都笑了。这些题对他们来说，显然太简单了：第一组题，只要把两个数量合并起来，即用加法，就能轻松得到答案;第二组题，都可以用“单价×数量=总价”来表示。王老师就是想通过这样简单的例子让学生知道，发现了一类问题内在稳定的结构，也就发现了这类问题的规律。

那么，如何发现这种内在稳定的结构呢？王老师启发学生：“常用的方法是多举一些例子，通过比较发现这些例子的共性;掌握一定的方法后，再通过相应的方法学习新的知识，这样才能举一反三。”

（二）怎样找规律——由一道到一类的迁移

1.例题重现，感受“接着想下去”。

王老师在屏幕上出示文首例题，提问：“你们是怎样解决这道题目的？”大部分学生回答“通分”，也有学生隐约想起之前是借助数形结合来分析的。王老师相机出示图1。学生都回忆起这道题是通过转化，即用1-116得到结果的，并一致认为这是解决同类问题较好的方式。

王老师看到学生自信满满，并不急于表态，而是指出：“会做一道题，并不代表会做一类题。检查自己有没有真正掌握，我们还可以在举例子上做文章，即举具有类似结构的例子。”学生跃跃欲试，举出12+14+18+116+132、12+14+18+116+132+164等算式。王老師先肯定了学生使用的举例法是一种常用方法，也就是“接着想下去”，然后启发学生，“接着想下去”既可以往后想，还可以往前想，并引发学生思考：“如果往前面补数，应该补几？再往前补呢？”

2.再次尝试，主动建模明理。

王老师出示：16+8+4+2+1+12+14+18+116。学生独立完成。绝大多数学生将整数部分进行了相加，对后面的分数部分按照之前的方法进行计算。王老师让学生想想是否还有其他的方法。很快，有学生提出整数部分也可以按照之前的方法处理，即把一个大正方形看作32，用32-1同样可以算出整数部分。这位学生的想法引发了全班的思考。

稍后，有学生自告奋勇上台讲解：“这道算式可以转化成32-116，并且可以用图解释这样做的道理。”王老师相机出示图2。该学生接着说道：“这道题的结构与上一题一样，后一个数总是前一个数的一半——在这里，大正方形表示32，32是由2个16构成的，依次得到8、4、2、1、12……这个图越画越小，但是我们可以‘接着想下去，最后的空白处肯定是算式中的最后一个数116，所以用32-116即可求出结果。”在这期间，全班学生都很安静。无疑，这位学生高水平的解决方案推动全班进入了比较积极的认知状态。

3.沟通联系，迁移方法。

王老师继续出示：13+16+112+124。这次，学生没有急于动笔，而是仔细地观察这个算式的特征，尝试找到与刚才那些题目的共性。当发现这个算式的内在结构还是后一个数是前一个数的一半时，学生立刻将其转化成23-124，得出结果，并画图表示计算过程。

接着，王老师将三个算式放在一起，引发学生回顾与讨论刚才的学习过程。有的学生感慨数形结合可以帮助他们更好地做题，有的学生则指出用图建立模型来解释原理是一个重要的技巧，还有的学生体会到：只要满足一个规律，就能产生很多道题，而发现这个规律，能解决一类问题……

4.学以致用，举一反三。

这类计算问题，教学一般到这儿就告一段落了，而王老师却继续提出了这样一个任务：“请编一道可以用刚才发现的规律解答的计算题，自己先算一算，再考考你的同桌。”

展示时，第一位学生出的题是：0.8+0.4+0.2+0.1-120+140+180。他觉得此题的特色是不仅符合刚才的规律，还有加减混合，小数部分用1.6-0.1，分数部分用110-180，然后相减得到结果。第二位学生出的题是：32+16+8+4+2+1+0.5+0.25+18+116。他把整数、小数、分数综合到了一道算式里，但是结构还是跟刚才的一样，用64-116即可得到结果。

（三）为什么找规律——由方法到思想的跨越

1.找结构。

王老师出示：“10张纸牌整齐地排成一行，按顺序编号为1到10。第一次拿走所有奇数位置上的纸牌，第二次从剩余纸牌中拿走所有奇数位置上的纸牌……以此类推，最后剩下的一张纸牌的编号是多少？”学生很容易通过一次一次地划去奇数位置上纸牌的方法得到结果是8。

王老师引发学生深入思考：“这道题的数据比较小，只有10张牌，但如果‘接着想下去，有100张牌、1000张牌，刚才的操作还能快速解决问题吗？回忆刚才的学习过程，思考还需要怎么做，才能表示我们真的掌握了这一类题目。”学生陷入沉思，很长一段时间没有人回答。王老师提示：“通过举例子来找一类问题的规律时，要尤为重视解题的过程，如果没有过程，就很难发现变化，而我们要找的规律往往隐含在变化之中——划去奇数位置的数后，留下的数有什么规律吗？”学生通过观察很容易发现：第一次留下的都是偶数，也就是 2的倍数，第二次留下的是4的倍数，第三次留下的是8的倍数;如果数据变大，可以“接着想下去”，可能会留下16的倍数、32的倍数……接着，王老师引导学生将数据逐渐变大来验证猜想，从而一步一步找到这类问题稳定的结构，发现规律。

2.用结构。

王老师出示：“200个学生排成一行，从左到右依次编号为1到200;然后从左到右‘1、2报数，报‘1的人离开队伍;剩下的人继续从左到右‘1、2报数，仍是报‘1的人离开队伍，直到队伍中剩下一个人为止。问：最后留下的人编号是多少？”学生审题后，自发将此题与上面的纸牌题目进行联系与对比，判断出两道题目虽然题干不同，但是实质相同，属于同一规律的数学问题，因此可以简化解题过程，即最后留下的人编号应是128的倍数——只有128。

王老师继续出示：“在平铺的纸上画50条直线，最多会形成多少个交点？”通过学生的交流、汇报，我们欣喜地看到了之前学习的成效：这里的数据较大，但可以“接着想下去”，往前想，从只画1条线开始想起;要想交点最多，每次增加的直线就要尽可能和前面的直线都相交;在记录数据时，要把过程保留下来;列表和有条理地记录有助于理解正在做的事，以及为什么这样做……

二、教学启示

数学学科的育人价值主要体现于数学的理性精神以及蕴含其中的数学方法、数学思想。仔细品味与揣摩这节课，无论问题设计，还是任务实施，抑或方法指导，都使人心明眼亮、回味无穷。王老师将学习活动镶嵌于“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的过程之中，引导学生养成“接着想下去”的数学思维，掌握由“例”到“类”的数学方法，获得“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的”数学思想。

（一）着力于数学思维的养成——把数学“教懂”

郑毓信教授指出：“数学学习的一个主要价值就是有利于人们思维方式的改进，并能使人们逐步学会更清晰、更合理、更深入地思考问题，它能为学生提供唯有在数学学科的学习中才有可能建立的独特的发现方式和思考路径。”由此，小学数学教学中，教师要引导学生透析解决问题的思维过程，在学会解决问题方法的同时“懂得”解决问题的思维方式。

这节课中，王老师选取的例题极具典型性。实际教学时，不少教师为了让学生更加熟练地掌握解题方法，将这类式题总结为1减去最后一个数，并要求学生记住这个结论，以应对类似的计算问题。这显然是对学生思维的一种局限。所以课上，我们看到，即使六年级的学生回过头来做五年级的题目，他们也并不真正理解其中的内涵，表现出来的就是记忆的模糊和断断续续。对此，王老师设计了四个教学层次，帮助学生转变思维方式，理解这类式題的内在规律：首先，唤醒学生原有的经验，引导学生把图形和算式联系起来观察、思考;其次，提供与例题结构相同但有条件变化的练习，帮助学生优化算法，丰润认知过程，真正领会其中的规律;接着，继续呈现类似的计算任务，培养学生根据具体情境做出判断与决策的能力;最后，让学生自主编制具有类似规律的题目，促进学生深度思考，实现“知其然，也知其所以然”。

（二）着力于数学方法的掌握——把数学“教活”

人们常说，授人以鱼，不如授人以渔。具体来说，就是教会学生自主探究问题、解决问题的数学方法，掌握相关数学问题的解决思路。所谓把数学“教活”，就是希望学生在遇到类似的数学问题时，能举一反三，触类旁通，由“例”到“类”。

纵观整节课，我们看到，学生在解决问题时迫切需要一些具体的、可操作的方法，而王老师也一直在有意识地加强常用方法的指导。如：接着想下去，从简单的想起，从一道题变为三道题、五道题，列表记录过程等。在过程中，王老师还有意识地引导学生给同学讲解答题过程，让他们用自己的理解教授他人——这是“学习金字塔”理论中最有效的学习方式。

（三）着力于数学思想的渗透——把数学“教深”

数学思想是“方法的方法”，具有普遍的适用性，是学生分析和解决问题的能力、创新精神和实践能力的基础。学生头脑中的数学思想是在学习过程中形成且逐渐发展的。在这个过程中，学生的已有经验、积极主动的体验以及与他人的互动，是获得数学思想的基本条件。

这节课中，王老师多次在不同的环节润物细无声地渗透不同的数学思想，如抽象、归纳、模型等，成为学生需要感悟、也有所感悟的主体。其中，模型思想的渗透可以说是贯穿全课的。首先，王老师引领学生通过研究题目的类型结构，建构相应的数学模型，掌握一类问题的解题方法;然后，力求让学生通过个体的思考、探究以及与老师和同学的交流，体会模型建构（发现一类问题的规律）的方法——一般要经过提出问题、进行猜想、尝试解决、举例验证、归纳概括等步骤，最终获得“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”。

*本文系江苏省中小学教学研究立项课题“支持儿童数学创意学习的实践研究”（编号：2017JK12L011）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 郑毓信.数学的文化价值何在、何为——语文课反照下的数学教学[J].人民教育，2007（6）.

[2] 王永春.小学数学思想方法解读及教学案例[M].上海：华东师范大学出版社，2017.备课贴士