刘圣宾, 丁自豪, 张永兵, 余 波*,2,3

(1.广西大学 土木建筑工程学院,南宁 530004；2.工程防灾与结构安全教育部重点实验室,南宁 530004；3.广西防灾减灾与工程安全重点实验室,南宁 530004；4.南京市市政设计研究院有限责任公司,南京 210008)

1 引 言

钢筋混凝土(RC)柱是建筑和桥梁等工程结构重要的承载构件。当RC柱的抗弯承载力不足时,往往会导致RC柱的破坏模式由延性的弯曲破坏向脆性的弯剪破坏或剪切破坏转化,进而造成工程结构发生局部破坏或整体倒塌[1],影响工程结构的正常使用功能和安全性。因此,准确分析RC柱的抗弯承载力,对于钢筋混凝土结构的承载安全性分析与设计具有重要意义。

目前,国内外设计规范[2-4]分析RC柱抗弯承载力的思路基本一致,均是基于RC柱正截面承载力计算的基本假定,通过等效简化RC柱受压区混凝土的应力图,确定相对界限受压区高度和钢筋的应力,进而根据RC柱的截面内力平衡方程,提出RC柱的抗弯承载力计算模型[5]。然而,现有的RC柱抗弯承载力模型属于确定性模型,无法合理考虑RC柱的材料特性、几何尺寸和施工偏差等因素存在的固有不确定性的影响[6-10],以及在模型建立过程中引入由于各种模型假定、试验数据有限和考虑因素不全面等引起的认知不确定性的影响[6-10]。此外,虽然不同设计规范所采用的基本假定类似,但是由于在建模过程中所考虑的影响因素以及所采用的试验数据存在不同,导致各抗弯承载力模型的计算精度和适用性具有显著差异,所以有必要对各计算模型开展校准分析。传统的校准方法[11]主要基于模型误差开展校准分析,无法合理考虑上述固有不确定性和认知不确定性的影响[8,9]。因此,有必要综合考虑上述不确定性的影响,研究建立RC柱的概率抗弯承载力模型,并提出传统确定性抗弯承载力模型的概率校准方法。

鉴于此,本文首先基于RC柱正截面受弯承载力的基本假定,结合偏心受压RC柱的截面内力平衡条件,分别建立了大(小)偏心受压RC柱的确定性抗弯承载力模型；然后,综合考虑固有不确定性和认知不确定性的影响,并结合贝叶斯理论和MCMC法,建立了大(小)偏心受压RC柱的概率抗弯承载力模型；进而基于概率抗弯承载力模型所确定的概率密度函数、置信区间和置信水平,提出了传统确定性抗弯承载力模型的概率校准方法；最后,结合200组大偏心受压和50组小偏心受压RC柱的试验数据,验证分析了概率抗弯承载力模型和概率校准方法的有效性。

2 RC柱的确定性抗弯承载力模型

基于RC柱正截面承载力计算的基本假定(包括平截面假定、不考虑混凝土的抗拉强度、混凝土和钢筋均采用理想化本构关系模型等)[4],可以确定在偏心受压作用下矩形截面RC柱的应力分布,如图1所示。可以看出,在压弯荷载作用下RC柱的抗弯承载力主要由受拉区钢筋的拉应力,以及受压区混凝土和受压区钢筋的压应力承担。基于 图1(c)所示的RC柱计算等效应力分布,可以确定RC柱的截面内力平衡条件为

(1)

(2)

σs=fy(β1-ξ)/(β1-ξb)

(3)

式中β1为受压区高度等效系数[4]，ξb为相对界限受压区高度,计算公式为

ξb=β1/[1+fy/(Esεc u)]

(4)

式中Es为钢筋的弹性模量，εc u为混凝土的极限压应变[4]。

对于大偏心受压RC柱,当达到抗弯承载力时,受拉钢筋屈服(即σs=fy),根据式(1)可知：

(5)

式中ξ1为大偏心受压RC柱的相对受压区高度。将x=ξ1h0代入式(2)可以建立大偏心受压RC柱的确定性抗弯承载力模型，

(6)

对于小偏心受压RC柱,当达到抗弯承载力时,受拉钢筋未屈服,结合式(1，3)可知

(7)

式中ξ2为小偏心受压RC柱的相对受压区高度。将x=ξ2h0代入式(2),可以建立小偏心受压RC柱的确定性抗弯承载力计算模型：

(8)

图1 偏心受压作用下矩形截面钢筋混凝土柱的应力分布

Fig.1 Stress distribution of rectangular reinforced concrete columns under eccentric compression

表1 RC柱基本参数的取值范围

基于所收集的250组试验数据,可以验证式(6,8)的计算精度,如图2所示。可以看出,模型计算值和试验测试值的散点大多分布在等值线附近,但是式(6，8)的模型计算值与试验测试值比值的变异系数分别为0.14和0.18,说明计算结果具有一定的离散性,主要原因在于RC柱的材料特性、几何参数和施工偏差等存在固有不确定性,以及在 式(6，8)的模型推导过程中引入各种模型假定和考虑因素不全面等存在认知不确定性。因此,有必要基于式(6，8)所定义的确定性抗弯承载力模型,考虑上述两类不确定性的影响,分别建立大(小)偏心受压RC柱的概率抗弯承载力模型。

图2 RC柱抗弯承载力的计算值与试验值的对比

Fig.2 Comparison between calculated and tested flexure strength of RC columns

3 RC柱的概率抗弯承载力模型

3.1 概率抗弯承载力模型的解析表达式与后验信息

(9)

(10)

根据式(9,10)可知,要确定大(小)偏心受压RC柱的概率抗弯承载力,首先需要确定概率模型参数γi(i=1,2)的统计信息。本文利用贝叶斯理论[16]来确定概率模型参数γi的后验分布：

(i=1,2)

(11)

根据式(11)可知,基于γi的先验分布信息,结合试验数据,可以不断更新γi的后验分布信息。为了避免求解正则化因子所涉及的积分运算,本文基于200组大偏心受压和50组小偏心受压RC柱试验数据,采用基于延迟拒绝(DRAM)算法的 MCMC 法[17]来确定γi的后验分布信息。根据确定性模型参数α1的物理意义,假定概率参数γi的先验分布为区间[0.00,1.00]的均匀分布(均值为0.50)。同时,通过研究发现,概率模型参数先验分布的变异系数不宜过小,所以本文假定γi的变异系数为0.60,进而可以确定γi的先验分布信息(包括均值、标准差和经验分布类型等),列入表2。

基于所收集的200组大偏心受压和50组小偏心受压RC柱的抗弯承载力试验数据,结合表2中概率模型参数γi的先验分布信息,利用基于DRAM算法的MCMC法,可以分别确定概率模型参数γi的后验分布信息(如均值、标准差、变异系数和经验分布类型),列入表3。需要说明的是,为了消除确定先验分布时存在的主观性对更新结果的影响,表3中γi的后验分布信息是通过循环更新后得到的结果,即将第一次更新得到的后验分布信息作为第二次更新的先验分布信息进行循环更新,直到更新前后概率模型参数γi的均值和标准差满足预定的误差限(如相对误差小于0.001)时停止更新,此时认为γi的后验分布信息收敛,否则将持续更新。

同时,表3中γi的经验分布类型是基于 MCMC 法产生的随机样本点利用K-S检验确定的,其中K-S检验统计量列入表4。需要说明的是,当样本容量为1000，显著水平为0.05时,K-S检验的临界值为0.043。由表4可知,γ1和γ2均不拒绝服从正态分布、对数正态分布和伽马分布。考虑到正态分布更加方便使用,所以本文将概率模型参数γ1和γ2后验信息的经验分布类型选取为正态分布。

表2 概率模型参数的先验信息

Tab.2 Prior distribution of probabilistic model parameters

模型参数均值标准差变异系数分布类型γ10.500.300.60均匀分布γ20.500.300.60均匀分布

表4 概率模型参数后验分布的K-S统计量

Tab.4 Statistics of K-S test of posterior distri-bution of probabilistic model parameters

模型参数正态分布对数正态分布威布尔分布伽马分布γ10.0380.0390.0450.039γ20.0210.0230.0710.022

3.2 概率抗弯承载力的数字特征和经验分布类型

假定概率模型参数γi与模型误差εiσi(i=1,2)之间相互独立,根据式(9,10)定义的大(小)偏心受压RC柱的概率抗弯承载力模型,利用一般函数的近似矩方法[18],可以分别确定大(小)偏心受压RC柱概率抗弯承载力的均值和标准差的解析表达式为

(12)

(13)

(14)

(15)

基于所收集的200组大偏心受压和50组小偏心受压RC柱的抗弯承载力试验数据,可以验证由式(12,14)定义的RC柱概率抗弯承载力均值模型的计算精度,如图3所示。图3中等值线Equality line表示式(12,14)的计算值与试验测试值相等,+30% line和-30% line分别表示式(12,14)的计算值与试验测试值之间的比值分别为1.3和 0.7。可以看出,式(12，14)的计算值与试验测试值的散点绝大部分落在±30%线范围内,且大部分分布在等值线附近,说明式(12，14)定义的大(小)偏心受压RC柱抗弯承载力的均值模型具有良好的计算精度。

(18)

图3 概率抗弯承载力均值模型的计算值与试验值的对比

Fig.3 Comparison between tested values and calculated values of the mean models of probabilistic flexure strength

根据式(17,18)所确定的RC柱概率抗弯承载力的累积分布函数,不仅可以计算具有预定保证率的抗弯承载力概率特征值,而且可以计算传统确定性RC柱抗弯承载力模型MC的置信水平Cv为

(MC>0)

(19)

(20)

3.3 概率抗弯承载力模型的对比验证分析

根据式(20)可以确定在任意置信水平条件下RC柱概率抗弯承载力的双侧置信区间。以置信水平1-α分别为0.50和0.95为例,可以分别计算200组大偏心受压和50组小偏心受压RC柱的概率抗弯承载力的50%和95%双侧置信区间,如 图5 所示。

从图5(a)可以看出,对于大偏心受压RC柱,绝大部分试验数据落在50%双侧置信区间内,而几乎全部试验数据落在95%双侧置信区间内,且大部分散点分布在概率模型均值线的附近；类似地,从图5(b)可以看出,对于小偏心受压RC柱,几乎全部试验数据均落在95%双侧置信区间内,且大部分散点分布在概率模型均值线附近。由此可见,建立的大(小)偏心受压RC柱的概率抗弯承载力模型具有良好的计算精度。

4 确定性抗弯承载力模型的校准分析

4.1 基于概率密度函数的校准分析

根据式(16，18)确定的RC柱抗弯承载力概率密度函数,可以校准分析传统确定性抗弯承载力模型的计算精度。以3.3节讨论的大(小)偏心受压RC柱为例,校准分析了中国规范GB 50010-2010、美国规范ACI 318和欧洲规范EN 1992-1-1的RC柱抗弯承载力模型(分别简记为GB 50010-2010模型、ACI 318模型和EN 1992-1-1模型)的计算精度,各确定性模型的计算公式列入表5,各模型计算值在概率密度函数上的分布情况如图6所示。

图4 抗弯承载力测试值在概率密度函数上的分布情况

Fig.4 Distribution of tested flexure strength values on PDF

由图6可以看出,对于所选定的大(小)偏心受压RC柱,ACI 318模型的计算值均低于试验测试值和概率模型的均值,说明该模型低估了上述RC柱的抗弯承载力；EN 1992-1-1模型的计算值大于试验测试值和概率模型的均值,说明该模型高估了上述RC柱的抗弯承载力；GB 50010-2010模型的计算值与试验测试值和概率模型的均值比较接近,表明该模型的计算精度较好。

图5 试验测试值在50%和95%双侧置信区间的分布情况

Fig.5 Distribution of tested values in the two-sided confidence intervals of 50% and 95%

表5 不同抗弯承载力模型的计算公式

Tab.5 Formulas of different flexure strength models

模型简称计算公式GB50010-2010模型[4]P=α1f′cbx+f′yA′s-σsAsM=α1f′cbx(h0-x/2)+f′yA′s(h0-a′s)-P(h/2-a′s)ACI318模型[3]P=ϕ(0.85f′cbx+f′yA′s-σsAs)M=ϕ[0.85f′cbx(h0-x/2)+f′yA′s(h0-a′s)-P(h/2-a′s)]ϕ=0.23+0.25/ξbEN1992-1-1模型[2]P=ηf′c(λx)b+f′yA′s-σ′sAsM=ηf′c(λx)bh0-λx2()+f′yA′s(h0-a′s)-P(h/2-a′s)注:η和λ分别为混凝土抗压强度折减系数和受压区高度等效系数[2];σ′s为受拉区纵向钢筋的应力[2]。

4.2 基于置信区间的校准分析

基于本文建立的RC柱概率抗弯承载力模型,可以确定RC柱概率抗弯承载力具有预定置信水平的双侧置信区间,进而可以校准分析传统确定性抗弯承载力模型的计算精度。针对所收集的200组大偏心受压和50组小偏心受压RC柱,以概率抗弯承载力的50%和95%双侧置信区间为例,GB 50010-2010模型、ACI 318模型和EN 1992-1-1模型的计算值在50%和95%双侧置信区间的分布情况如图7和图8所示。可以看出,对于大(小)偏心受压RC柱,ACI 318模型的计算值几乎全部位于95%置信下限和概率模型均值线之间,表明该模型普遍低估了RC柱抗弯承载力；EN 1992-1-1模型的计算值大部分位于概率模型均值线和95%置信上限之间,表明该模型普遍高估了RC柱抗弯承载力；GB50010-2010模型的计算值几乎全部位于50%双侧置信区间内,且大部分散点分布在模型均值线附近,说明该模型的计算精度相对较好。由此可见,利用概率抗弯承载力模型确定的双侧置信区间,可以有效校准分析传统确定性抗弯承载力模型的计算精度。

4.3 基于置信水平校准分析

图6 RC柱抗弯承载力计算值在概率密度函数的分布情况

Fig.6 Distribution of predicted flexure strength values on PDF

图7 确定性抗弯承载力模型的计算值在50%和95%置信区间内的分布(大偏心受压RC柱)

Fig.7 Distribution of the predicted values of deterministic flexure strength models in 50% and 95% confidence intervals for large eccentric compression RC columns

图8 确定性抗弯承载力模型的计算值在50%和95%置信区间内的分布(小偏心受压RC柱)

Fig.8 Distribution of the predicted values of deterministic flexure strength models in 50% and 95% confidence intervals for small eccentric compression RC columns

图9 在不同影响因素下GB 50010-2010模型计算值的置信水平

Fig.9 Confidence level of the predicted values of GB 50010-2010 model under different influence factors

图10 在不同影响因素下ACI 318模型计算值的置信水平

Fig.10 Confidence level of the predicted values of ACI 318 model under different influence factors

图11 在不同影响因素下EN 1992-1-1模型计算值的置信水平

Fig.11 Confidence level of the predicted values of EN 1992-1-1 model under different influence factors

5 结 论

综合考虑固有不确定性和认知不确定性的影响,结合贝叶斯理论和MCMC法,分别建立了大(小)偏心受压RC柱的概率抗弯承载力模型,进而提出了传统确定性抗弯承载力模型的概率校准方法。研究表明，

(1)与传统的确定性抗弯承载力模型相比,所建立的概率抗弯承载力模型不仅可以综合考虑固有和认知不确定性的影响,而且能够合理描述RC柱抗弯承载力的概率分布特性。

(2)基于概率抗弯承载力模型,可以校准传统确定性抗弯承载力模型的计算精度。总体而言,美国规范ACI 318模型低估了RC柱的抗弯承载力,欧洲规范EN 1992-1-1模型高估了RC柱的抗弯承载力,而中国规范GB 50010-2010模型对RC柱抗弯承载力的计算精度相对较好。