丁力

[摘  要] 几何最值问题是初中数学常见的问题类型，涉及众多知识点，问题形式也较为多变. 该类问题的求解需要把握常见的问题模型，理解问题本质，结合相关知识来合理转化. 文章对几何最值问题加以探究，解读基本模型，探究典型问题，提出相应的学习建议.

[关键词] 几何;最值;模型;将军饮马;线段和

问题背景

从最值问题的特点来看，其类型主要分为几何与代数两类，其中几何最值更为常见，也最具代表性，其中涉及角度、常见的几何图形、坐标轴和抛物线等知识内容，重点考查学生“两点之间线段最短”“垂线段最短”“线段平移”等知识点. 学习时需要掌握常见的问题原型，例如将军饮马和选址问题等. 求解的总体思路是利用轴对称特性来实现线段的由“折”化“直”，从而可以利用几何定理来确定最值情形.

模型解读

几何最值的问题形式较为多变，但其中的基本几何模型是固定的，模型如下.

模型条件：如图1所示，点A和B是直线l同侧的两个定点，点P是直线l上的一个动点.

模型问题：分析点P的位置，何时可使PA+PB的值最小.

解题方法 作点A关于直线l的对称点，设为A′，连接A′B，与直线l的交点就为满足条件时点P的位置，此时PA+PB=A′P+PB=A′B.

方法解读 由轴对称特性可知PA=A′P，从而将问题转化为求A′P+PB的最小值，其中涉及A′、P和B三点，基于“两点之间线段最短”原理可知：当A′、P和B三点共线时，A′P+PB取得最小值，从而实现了线段的化“折”为“直”.

问题探究

几何最值的问题类型有多种，设问形式也不相……