林利凡

(浙江省瓯海中学 浙江 温州 325000)

带电粒子在匀强磁场中的运动一直是高考的热点所在，而磁场设置问题更是其中的难点.但由于学生学业水平的限制，此类题目只能是“万变不离其宗”，因此,容易造成学生在“思维定式”作用下“死套模型”的行为.在习题练习中，学生应当避免这类过于关注正确结果而忽视思维过程或“生搬硬套”物理模型而导致逻辑不清的现象发生，需要进行多角度、多层次、多途径的探索.

以下，笔者将从3类典型磁场设置问题的模型中对相关问题进行探讨.

模型一:圆形磁场发散

图1 模型一图

【例1】如图2所示，在xOy平面内有许多电子(质量为m，电荷量为e)，从坐标原点O不断地以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限.现加上一个垂直于xOy平面向内的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都平行于x轴正方向运动，试求出符合该条件的磁场的最小面积(不考虑电子的重力以及电子之间的相互作用).

图2 例1题图

图3 例1解析图

因此,各电子离开磁场的出射点均应位于圆弧a2上.做出沿y轴方向射出的电子的轨迹圆弧a1.使圆弧a1与圆弧a2构成磁场区域，由几何关系得

拓展分析:在上一种情况中，电子都直接由O点进入磁场.进一步联想，我们还可以试着去探究电子进入第一象限后先做匀速直线运动，后做匀速圆周运动的情况.

图4 先做匀速直线运动后做匀速圆周运动分析图

图5 磁场区域面积分析图

思考:这道题目其实从正面的思考角度很难严密地论证得到最小面积.解析仅证明电子都由O点进入磁场的情况中的最小面积.但我们还应去思考不同运动情况下的磁场设置，以此来完善解答.相较而言，第二种情况通过数形结合的方法能更好地阐明情况.因此面对这类题目，我们应当从更严谨、更全面的角度去分析.

模型二：圆形磁场聚焦

【模型二】如图6所示，有一个圆形匀强磁场区域，从磁场边界上以相同速度方向垂直于磁场入射的相同带电粒子会聚焦于磁场边界上的同一个点.此为“磁聚焦”模型.

图6 模型二图

【例2】如图7所示，ABCD是边长为a的正方形，质量m，电荷量为e的电子以v0的速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；(2)此匀强磁场区域的最小面积.

图7 例2题图 图8 例2解析图

图9 以D为圆心，a为半径，构建圆形磁场

拓展分析:上面的情况中，电子先做匀速直线运动，进入磁场后再做匀速圆周运动聚焦于A点.根据逆向思维，我们自然想到电子也可能先做匀速圆周运动，再做匀速直线运动.

首先，半径同样求得为a.如图10所示，我们由A点在每一个电子的轨迹圆上构造切线，使切点相连.由几何方法证得，切点连线方程为

则使切点连线、C点入射电子轨迹圆弧a1与边BC构成磁场区域.在磁场中，电子入射后会偏转至切点射出，后做匀速直线运动汇聚于A点，该情况同样满足条件.

图10 拓展分析图

思考:在前两种情况中，电子的运动过程相反却呈现出相同的结果，可见物理运动的对称统一.

但是在分析过程中，我们还应该把握题目要求，避免“千虑而一失”，终成大错.比如在拓展分析的情况里，磁场区域看似满足条件，实则并不符合题目中“都只能从A点射出磁场”的要求.若我们将题目改成“都只能从A点射出”，则分析二中的情况成立.但又是这样一点改动，会使得题目无解.

图11 电子轨迹圆弧a1与边BC围成磁场区域

因此我们不能够因为物理运动中存在对称统一而陷入思维惯性，不能因为有新的发现而忘记前提要求.

模型三:组合磁场偏转

【模型三】在前文，我们探究了“磁发散”和“磁聚焦”两种模型.而组合使用“磁发散”和“磁聚焦”模型，可实现带电粒子的对称偏转，即两个模型水平设置时，同一带电粒子的入射速度与入射点处切线的夹角和出射速度与出射点处切线的夹角相等,如图12所示.

图12 模型三图

当带电粒子出、入射角度范围为直角时，往往可以得到圆形磁场中的“树叶形”磁场来实现发散和聚焦的功能.如图13所示，由圆弧a1和圆弧a2组合成的“树叶形”磁场面积

图13 由圆弧a1和圆弧a2组合成的“树叶形”磁场面积

【例3】如图14所示，质量为m,电荷量为e的电子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v0.现在某一区域内加一方向向里且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上，求：所加磁场范围的最小面积.

图14 例3题图

图15 例3分析图

结合沿x轴正方向入射电子的轨迹，与沿y轴正方向入射电子的轨迹，使圆弧a1，圆弧a2和圆弧a3构成磁场区域，如图15所示.则可求得最小面积

拓展分析：我们可以尝试利用“磁发散”和“磁聚焦”模型的组合来实现电子的对称偏转，将问题转化为更熟悉的样子.

如图16所示，构造两个“树叶形”磁场区域，半径都为r.接着再构造圆形磁场区域，结合沿x轴正方向入射电子的轨迹与沿y轴正方向入射电子的轨迹，得到必要的磁场区域.求得组合磁场面积

图16 组合磁场面积分析图

延续上一种情况中的思想，我们可以继续尝试.

如图17所示，构造一个“树叶形”磁场区域，半径为r.接着构造磁场区域，使从射出磁场的电子都进行180°偏转.磁场区域等同于平移半圆时，圆周划过的轨迹区域.求得组合磁场面积

图17 拓展分析组合磁场面积

思考:在这道题目中，我们结合已知的模型，通过构建组合磁场求得了真正的最小面积，可见物理模型组合的多样性.

学生可能感到疑惑：在题目中由于电子在不同情况里在磁场中的偏转情况相同，因此求得的面积也应该相同，但为什么解答求得的面积却各不相同？

事实上，在将轨迹圆弧拆分后，再重新组成的区域中，轨迹或许会有重合，又或许分离，这种轨迹组合的“紧密”程度导致求出不同的磁场面积.因此在考虑此类最小面积的问题时，我们还需全面分析，谨慎考虑.

综上所述，可以发现学生一般容易像“解析”的情况中较武断地进行思考，为了得到答案而答题，忽略解题逻辑，陷入“思维定式”.

英国哲学家培根说:“如果你从肯定开始，必将以问题告终；如果你从问题开始，则终以肯定结束.”所以在习题练习中，学生应该在教师的指导下进行更深一步的逻辑探索，激发求异思维和批判思维.

同时，学生要锻炼“一题多想”的能力，多进行类似问题的训练，多发现问题，思考总结，以此来避免“思维定式”的影响.