王小刚

【摘  要】高中数学教学内容中，函数与方程是教学的重点内容，如何突破重难点进行教学，是数学教师重点关注的课题。本文围绕高中函数教学，结合具体教学案例，详细分析了分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想三类数学思想方法在高中函数教学中的具体应用，希望为高中其他重点知识应用数学思想方法提供一些具有参考价值的建议。

【关键词】高中函数;数学思想方法;有效渗透

数学思想方法作为一种有效的教学手段，在数学知识教学中，数学思想方法的有效渗透，可促进学生数学知识的理解，使学生了解函数本质，引导学生运用数学知识解决现实生活中的问题，有效促进学生数学综合素养的提高。接下来，我主要以高中函数教学为例，具体分析数学思想方法的有效渗透，旨在有效提高高中函数教学质量，促进学生全面发展。

一、高中函数教学中有效渗透分类讨论思想

高中函数教学过程中，分类讨论思想方法的有效渗透，其立足点是数学具体对象的本质异同。分类讨论主要指对数学具体对象按照本质的异同，进行种类的合理划分，最终得到最优解。以高中函数定义域试题为例，分类讨论思想的有效渗透，可通过函数底数讨论，确定函数自变量，然后借助分类讨论思想，逐步完成不同自变量对面的函数性质来达到，如此既能保证学生思维缜密，引导学生更加严谨地对待函数问题，又有利于函数问题的解决。同时，分类讨论可将函数问题整体划分为若干小问题，随后对若干小问题进行逐一解决，以此降低函数问题的解决难度，最终帮助学生有效解决函数问题。在此过程中，分类讨论思想方法的有效应用，一方面能降低的问题难度，促进学生理解;另一方面还有助于锻炼学生的思维能力，促进学生能力的发展。

例：已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）。若a*b*c=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值。教师在讲解此问题时，需基于问题本质，从可能出现的若干种情况进行分类讨论，在具体讨论过程中，教师需围绕a*b*c=4，将a、b、c的值进行分类讨论：∵a≥b≥c，若a<0，则b<0，c<0，a+b+c<0，与a+b+c=2矛盾。∴a>0。∵b+c=2-a，b*c=4/a，∴b，c是一元二次方程x2-（2-a）x+4 a=0的两实根。∵△=（2-a）2-4×4/a≥0，∴a3-4a2+4a-16≥0，即（a2+4）（a-4）≥0，故a≥4。∵a*b*c>0，∴a，b，c为全大于0或一正二负。①若a，b，c均大于0，∵a≥4，与a+b+c=2矛盾;②若a，b，c为一正二负，则a>0，b<0，c<0，则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，∵a≥4，故2a-2≥6当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使不等式等号成立。故|a|+|b|+|c|的最小值为6。基于上述解题过程，可知教师的解题思路，在分类思想的有效渗透下，主要将a，b，c进行分类讨论，并引导学生提出不同假设并进行问题答案的讨论，得出不同结果，最终结合题目已知条件，最终确定函数的最小值。在此函数解题的过程中，分类讨论思想的应用，主要是根据对象的异同，将复杂函数问题通过划分为若干小问题，简单化函数问题，以此促进学生问题分析能力与问题解决能力的提高。同时，问题分类讨论有助于锻炼学生的逻辑思维能力。

二、高中函数教学中有效渗透数形结合思想

高中函数教学过程中，数形结合思想应用十分广泛。函数关系本身属于抽象属性关系，通过直观方式加以呈现，更有利于解决函数问题。简单来说，教师围绕函数问题，通过解读函数的已知条件，以直观的数字与图形相结合的方式呈现出来，让学生通过观察图形得出函数问题的答案。这种方法不仅可以降低函数问题的难度，还有利于学生直观思维的培养。

例：已知点（-1，y1）（-3，y2）（2，y3）在y=3x2+6x+2的图像上，则y1，y2，y3的大小关系为（    ）。

分析过程：教师指导学生结合函数：y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图像，引导学生结合图像观察，最终得出抛物线对称轴为直线x=-1，进而得出当x=-1时，y存在最小值。随后由图像得出：x=2时y3的值，比x=-3时y2值大。因此，本函数题正确答案为y2>y3>y。

函数问题解决过程中，所运用的数学思想方法，即数形结合的思想，教师引导学生将抛物线y=3x2+6x+2画成图像，将问题与图像相结合，最终通过图像确定y1，y2，y3三个点数值大小关系。数形结合主要是将问题中的数量关系与直观图像相结合，一方面有助于学生理解函数问题;另一方面有助于培养学生的抽象思维能力，为学生的全面发展夯实基础。

三、高中函数教学中有效渗透函数与方程思想

高中函数教学过程中，函数与方程思想的有效渗透，便于教师更好地引导学生解决函数问题，丰富学生函数问题的解决方法，促进学生函数问题解决能力的提高。

例：倘若曲线y=2x+1与直线y=a没有公共点，求a的取值范围。

分析过程：教师在讲解此函数问题时，可以基于方程角度画出方程y=2x+1与方程y=a的图像，通过观察两个方程图像，就可以得出a的取值范围。除上述数形结合的方法之外，还可以将其转化为方程a=2x+1无解的问题。∵函数y=2x+1值域为（1，+∞），∴当a≤1，-1≤a≤1时，方程a=2x+1无解，以此得出a的取值范围。在此函数问题解决的过程中，以数形结合思想进行求解，主要通过方程转化为具体图像，然后通过观察图像，得出最终答案。而在此函数问的题解答过程中，则是以方程思想来解决问题，以已知方程条件为依据，组成新的方程解决问题，能够有效培养学生的应变能力。

四、高中函数教学中有效渗透举一反三思想

高中函数教学中，举一反三思想的有效渗透，便于教师更多地接触典型例题，且有助于学生从多个维度思考一个问题，从中找到有效的解题方法。尤其是在函数教学中，举一反三思想方法的有效运用，可以让学生更加熟练地掌握一类函数的解题方法。同时，数学教师在授课过程中，也需要尽可能给学生拓展一些解题方法，让学生在解题过程中，真正学会举一反三，能够将数学思想方法灵活运用到函数问题的解答过程中。

例如，求直线y=x与函数y=sinx的图象的交点个数。

分析过程：数学教师在讲解此类函数问题时，可以从举一反三的角度延伸问题，将所求函数图像交点个数延伸到交点具体坐标，或者交点是否在同一个平面上，交点组成方程及其图形等。此时，数学教师在对上述延伸问题分析时，需鼓励学生独立思考，想一想还有什么问题可以由函数图像交点延伸而来。同时，数学教师鼓励学生在原先题目的基础上添加与之相关的条件，或者直接运用原题目的已知条件进行求解问题的答案。这样一来，学生即可在数学教师的指导下，多维度地思考数学函数问题，快速解决函数问题：设f（x）=x-sinx，x≥0，對f（x）求导得f′（x）=1-cosx，故f（x）单调递增，所以f（x）≥f（0）=0;当x>0时，f（x）>0，又因为y=x与y=sinx都是奇函数，所以x<0时，无交点，故只有一个交点。在整个过程中，学生的思维得到充分发散，函数问题的解决十分顺利，且有效锻炼了学生的思维能力。

五、结语

总之，高中函数教学过程中，数学思想方法的有效渗透，能够有效降低函数问题的难度，进而促进学生函数解题能力的提高。但是高中函数问题涉及的数学思想方法并不唯一，需教师融合多种数学思想方法，有效解决函数问题，才能有效促进学生数学能力的提高。

参考文献：

[1]顾菊美.数学思想方法在高中函数教学中的有效渗透[J].华夏教师，2019（22）.

[2]陈梅英.高中数学函数教学渗透数学思想方法浅探[J].当代教研论丛，2018（9）.

（责任编辑  袁霜）