活用数学关系式 速解高考物理题
2020-06-09潘春芳项蔷媛
潘春芳 项蔷媛
[摘要]运用数学知识解决物理问题的能力是高考考查的主要能力之一。近似处理在许多实际问题中有着广泛的应用，熟练掌握几种常用的近似关系对有效解决相关物理问题有积极的作用，同样地，无穷递减等比数列求和公式S=a1/（1-q）是解决许多实际问题的重要方法文章结合几道典型考题，探讨近似关系及无穷等比数列求和公式在解答某些物理问题中的应用。
[关键词]数学关系式;物理问题;应用
[中图分类号]
G633.17
[文献标识码] A
[文章编号] 1674-6058（2020）17-0046-02
应用数学知识解决物理问题的能力是《（物理）考试说明》中的六大能力之一。可见，解决物理问题与数学方法密不可分，数学是解决物理问题的工具，可以这样说：没有数学基础，物理是学不好的。下面通过几个典型例题分析近似关系和无穷递减等比数列求和公式S=a1/（1-q）在解答高考物理题时的运用。
一、当λ《1时（1+λ）n≈1+nλ
[例1]（2007年江苏卷）如图l所示，带电量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。
（1）求小环C的平衡位置;
（2）若小环C的带电量为q，将小环拉离平衡位置一小位移x（|x|《d）后静止释放，试判断小环C能否回到平衡位置？（回答“能”或“不能”即可）
（3）若小环C的带电量为-q，将小环拉离平衡位置一小位移x（|x|《d）后静止释放，试证明小环C将做简谐运动。
可见，上式满足物体做简谐运动的动力学方程：F=-kx，所以，小环C将做简谐运动。
评析：本题的前两问实际上是给考生解第3问做铺垫，只要掌握了证明物体做简谐运动的一般解题思路和方法，再结合库仑定律、力的合成和近似关系式进行运算，就能迅速求解。
二、对于无穷递减等比数列（|q|<1），当n趋于无穷大时，数列的和为S=a1/（1-q）
[例2]（1989年全国卷）一个质量为m、带有电荷-q的小物体（可视为质点），可在水平轨道Ox上运动，O端有一与轨道垂直的固定墙、轨道处于匀强电场中，其场强大小为E，方向沿Ox轴正方向，如图2所示。小物体以初速度v。从xo点沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力厂作用，且f< qE;设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，求它在停止运动前所通过的总路程s。
解析：首先要分析小物体的受力情况和运动过程，其次再建立物理图景。开始时，设物体从xo点以速度v。向右运动，它在水平方向受到方向均向左的电场力qE和摩擦力厂作用，因此物体做向有的匀减速直线运动，加速度大小为a1=（qE+f）/m，减速直到速度为零;而后，物体受向左的电场力和向有的摩擦力作用，因为 ，所以物体做向左的初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为 ，直到以一定速度与墙壁碰撞，碰后物体的速度与碰前速度大小相等，方向相反，然后物体将做多次的往复运动，一直到停在墙壁处。
小物体从开始向右匀减速运动的位移大小为：x1=v02/2a1，然后向左匀加速运动与墙第一次碰撞前
此题，除了上述解法之外，还可以运用动能定理和能量守恒法求解，限于篇幅，不再赘述。
[例3]（2018年4月浙江卷）如图3所示，一轨道由半径为2m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度可调的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.2 kg的小球从A点无初速释放，经过网弧上B点时，传感器测得轨道所受压力大小为3.6N，小球经过BC段所受的阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落到水平地面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2m。小球在运动过程中可视为质点，且不计空气阻力。
（1）求小球运动至B点时的速度大小;
（2）求小球在网弧轨道上克服摩擦力所做的功;
（3）为使小球落点P与B点的水平距离最大，求BC段的长度;
（4）小球落到P点后弹起，与地面多次碰撞后静止。假设小球每次碰撞机械能损失75%，碰撞前后速度方向与地面的夹角相等。求小球从C点飞出到最后静止所需时间。
由二次函数的单调性可得，当vc= 1.6 m/s时，B至P的水平距离最大，由此可得：LBC=3.36m。
（4）由于碰撞前后速度方向与地面的夹角相等，所以碰撞前后水平与竖直分速度比例不变，每次碰撞机械能损失75%，故每次碰撞合速度、分速度均变为原来的二分之一。
当n取无穷大时，物体处于静止状态。由无穷递减等比数列求和公式，可得：
评析：在复习迎考中，要固本強基，狠抓主干知识，要加强对物理基础知识、基本技能和基本方法的理解，掌握物理规律。在教学设计中要突出通过问题载体，建构物理模型，研习解题过程，掌握解题方法，并强化数学知识在物理学科中的应用，这对提高学生分析问题、解决问题的能力有帮助。
[参考文献]
[l]潘春芳，项蔷媛.2018年4月浙江省物理选考第20题的多种解法[J].中学物理，2018（13）：57-58.
[2]项蔷媛，潘春芳.等比数列在物理解题中的应用例析[J].教学考试，2018（22）：38-40.
（责任编辑 易志毅）
