高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
2020-05-14汤凤
摘 要：圆锥曲线知识是高中数学的重要内容，对提高学生的解题能力、锻炼学生的逻辑思维、培养学生的创新精神等具有积极的促进作用。然而，圆锥曲线向来是高中数学教学中的难点，很多学生对其存在畏难心理，并且难以真正地掌握和理解。针对这一情况，本文对圆锥曲线的有效教学方法和解题技巧进行了探究，旨在打消学生的畏难情绪，帮助学生更好地学习圆锥曲线知识。
关键词：高中数学;圆锥曲线;教学方法;解题技巧
高考是人生的重要转折点，高中数学在高考中扮演着不可或缺的角色，且在高考成绩中占据较大的分值。对于高考数学来说，圆锥曲线知识更是每年的必考点，不仅在选择题中有所涉及，更常常成为最后的压轴题。根据统计结果，圆锥曲线知识的分值将近占到了高考数学总分的20%，这是多么庞大的数据。由此可见，学生学好圆锥曲线知识十分必要，这将极大地促进他们高考成绩的提高，帮助他们走向光明灿烂的未来。
一、 圆锥曲线知识的重要性
圆锥曲线知识之所以重要不仅在于它能帮助学生取得理想的高考成绩，更在于学生在解决圆锥曲线题目的过程中，他们的综合运用知识能力、思维能力、创新能力等得到了培养和提高。一方面，圆锥曲线知识较为抽象、复杂，相对高中数学的其他部分难以理解，所以学生学习圆锥曲线知识需要具有扎实的数学基础，需要学生对以前学过的知识和内容理解得更加全面与透彻，由此在一定程度上提高了学生的迁移能力、学习能力、理解能力等;另一方面，圆锥曲线的综合题目包含着较多的数学规律与定理，涉及面十分宽广，且题型富于变化性和动态性。学生要想正确解答出此类问题，就需要积极地动脑思考，充分调动头脑中已有的解题思路和解题方法，从而找到题目的突破口，由此锻炼了学生的数学逻辑，刺激了学生的思维活跃性，有利于学生思维能力的提高和创新精神的培养。
二、 圆锥曲线知识的教学方法
（一）创设情境，激发学习兴趣
兴趣是最好的老师，是提高教学效果的重要因素，更是学生自主学习的强大内驱力。在圆锥曲线知识的教学中，教师应该充分发挥“兴趣”的力量，积极创设学生感兴趣的教学情境，引导学生产生学习圆锥曲线知识的欲望和动力，激发他们的学习热情，从而取得良好的教学效果。
比如，笔者在教學“椭圆及其方程”时，就创设了人造地球卫星绕地球运转的问题情境，提问学生：“卫星的运转轨道是什么图形呢？卫星运转轨道的一般方程是不是被科学家已知的，否则他们如何放心地发射人造卫星呢？万一卫星运转发生了偏移该怎么办？”学生们的学习兴致一下子被激发出来，展开了热烈的讨论。此时，笔者再提出：“学习了本节课的知识，同学们就会稍有了解了，接下来就随老师一起进入椭圆方程的世界吧！”于是顺利地开展了接下来的教学。通过创设情境，激发了学生学习圆锥曲线知识的兴趣，使他们在最好的状态下听讲，有利于提高教学效率。
（二）自主探究，发展自学能力
探究式课堂是新课改重点强调的教学模式，它能充分发挥学生的主人公作用，提高学生在课堂学习的参与度，让学生在“真枪实战”中掌握知识，增强对知识的记忆和理解，同时可以提高学生的动手操作能力，有效培养学生的探究精神。因此，教师在实际的教学过程中，应该创造探究式的课堂氛围，引导学生积极进行自主探究活动。
比如，笔者在教学“椭圆的定义和概念”时，就给学生提供了丰富的教具，要求学生利用细绳、纸板、图钉、铅笔等自行绘制椭圆，测量出椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和，并测量出此时细绳的长度，然后探究二者之间的关系，并且根据发现的关系来介绍椭圆的概念。通过自主探究，不仅加深了学生对椭圆概念的理解和掌握，而且极大地发展了学生的自学能力，有利于提高教学质量。
（三）合作学习，培养合作精神
所谓合作学习，就是学生在教师的指导下，结合成科学合理的小组，然后共同完成规定的学习任务的教学模式。小组合作学习的效率远远高于个人学习的效率，有利于加快教学进度，并且能有效培养学生的语言表达、人际交往能力等，得到了广大教师的认可和青睐。教师在教学圆锥曲线的知识时，也可以采取合作学习的模式，从而促进教学效率的提高。
比如，笔者在教学“圆锥曲线的统一定义”时，就要求学生进行小组合作学习，明确分工，组内成员分别研究椭圆的定义、双曲线的定义和抛物线的定义，重点关注平面内的点到某一定点F和某一定直线l的距离之比——常数e的取值发生变化时，这些点的轨迹会有何变化，然后组内进行分析讨论，得出结论。同学们迅速得到了圆柱曲线的统一定义，并且总结出当e的取值范围为0
三、 圆锥曲线题目的解题技巧
（一）重视曲线定义，巧妙解决最值问题
学生学习圆锥曲线的知识，第一步就是学习圆锥曲线的定义，很多学生认为定义很简单，不值得推敲，却不知最简单的最容易被忽略，也容易成为出题人的常考内容，很多看似复杂的最值问题利用定义就可以巧妙地解决。因此，教师应该引导学生重视定义，夯实基础知识。
【例1】 已知椭圆x2/16+y2/4=1上某一点Q到椭圆两个焦点的距离之积为q，求q的最大值，并求此时Q点的坐标。
分析：此题求Q点到两焦点的距离之积，根据椭圆的第一定义和不等式的基本性质，可以转化为两个距离之和，进而求解。
解：设椭圆x2/16+y2/4=1的左焦点为F1，右焦点为F2。
则|QF1|+|QF2|=2a=8，q=|QF1||QF2|≤（（|QF1|+|QF2|）/2）2=16
当且仅当|QF1|=|QF2|时，等号成立，此时点Q为短轴的端点。
所以此时Q的坐标为（0，2）或（0，-2），m能够取到的最大值为16。
题目考查了圆锥曲线的最值问题，再加上出现了圆锥曲线的焦点，所以应该迅速想到应用圆锥曲线的定义。题目所求为动点到两焦点的距离之积，就应该联想到距离之和为定值，再利用不等式的性质进行转化，就可以成功地解决这道问题。
（二）运用设而不求法，解决弦中点问题
在圆锥曲线的运算中，经常设出一些量却并不解出这些量，只是发挥它们的过渡作用从而解决一些较为复杂的问题，这种方法就是“设而不求法”了。对于圆锥曲线与直线相交而产生的弦中点问题，采用设而不求法能起到出人意料的效果。
【例2】 已知双曲线x2+y2/2=1，过点A（4，2）的直线与该双曲线相交于两点M1和M2，已知线段M1M2的中点为M，求M的轨迹方程。
分析：采用设而不求法，设出两点坐标（x1，y1）和（x2，y2）并分别代入方程，然后相减，再应用中点关系和斜率公式，消参求解。
解：设M1（x1，y1），M2（x2，y2），分别代入得到x21+y21/2=1，x22+y22/2=1
两个方程相减，得到（x1+x2）（x1-x2）-1/2（y1+y2）（y1-y2）=0
又设中点M（x，y），于是x1+x2=2x，y1+y2=2y，得到2x-y*（（y1-y2）/（x1-x2））=0，（x1≠x2）
又k=（y1-y2）/（x1-x2）=（y-2）/（x-4）
将其代入得到2x2-y2-8x+2y=0
当x1=x2，即弦M1M2的斜率不存在时，M（4，0）也满足上述方程。
因此所求轨迹方程为2x2-y2-8x+2y=0
此題求M的轨迹方程，而M是弦M1M2的中点，于是迅速反应过来这是一道弦中点问题，只要按部就班地按照设而不求法的步骤，设出弦的两个端点坐标，并将端点坐标代入双曲线方程，作差后产生弦中点和弦斜率的关系，再结合实际问题，充分运用题目条件即可求解。本题值得注意的是斜率不存在的情况，考查了学生思维的严密性。
（三）引进参数方程知识，进行三角代换
教学大纲对圆锥曲线参数方程知识的要求是达到理解的程度即可，然而，众所周知，圆锥曲线的题目解题过程复杂，计算困难，在实际的教学过程中，如果教师能适时引入参数方程的知识，恰当地引导学生利用参数方程解题，不仅可以开阔学生的视野，拓展学生的解题思路，还能起到简化运算的效用。
【例3】 已知椭圆x2/36+y2/25=1，求该椭圆内接矩形的面积的最大值。
分析：看到最值两个字，我们可以很容易地联想到三角函数，因为三角函数是有界的，无形中给我们求最值带来了便利，进而联想到应用参数方程的知识，进行三角代换。
解：设椭圆x2/36+y2/25=1的内接矩形在第一、二、三、四象限内的顶点分别为A、B、C、D，线段AB与y轴的交点为E，线段AD与x轴的焦点为F。
根据椭圆的参数方程，设A的坐标为（6cosα，5sinα），其中α的取值范围为0<α<π/2。
设内接矩形的面积为S，于是S=4|AE||AF|=4*6cosα*5sinα=2*6*5*sin2α≤60
当且仅当α=π/4，等式成立，此时α存在。
因此面积S的最大值为60。
看到这道题，很多学生知道要设出坐标求解，于是他们不假思索地把坐标设为（x，y），结果发现越向下计算就越困难，逐渐失去耐性。其实，只要换个角度，将坐标设为参数方程的形式，就可以直接利用三角函数的有界性，迅速得到最终答案。
综上所述，作为身处一线的高中数学教师，我们应该毫不懈怠，采取灵活多样的教学方法，充分调动学生学习圆锥曲线知识的积极性，同时在教学中适时渗透有效的解题思路和技巧，与学生共同攻克圆锥曲线难题，为提高学生的高考成绩，促进学生的未来发展做出贡献。
参考文献：
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[3]任润花.圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用[J].高中数理化，2017（6）.
[4]王振平，宋洪英.促进学生数学运算素养提升的课堂教学改进研究：以“直线与圆锥曲线的综合问题”为例[J].中小学课堂教学研究，2018（1）.
作者简介：
汤凤，福建省福州市，福建省福州第七中学。
