广西师范大学数学与统计学院 (541006) 刘存华 周 莹广西民族大学理学院 (530006) 毋晓迪

波利亚曾说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题”.解题并不意味着题海战术，反而是要以经典题型为载体，通过“一题多解”来串联知识模块，培养思想方法，激发学生学习欲望[1]，真正实现“鱼渔欲”一体解题教学.下面以2019年高考全国III卷的一道平面几何题为例，探究八种不同维度和层次的解法，与一线教育者共同交流一题多解教学.

1.呈现试题

评析:本题从椭圆出发设题，同时夹杂着象限、三角形、坐标等多个知识点，完美地将“直线与方程”、“圆与方程”、“圆锥曲线与方程”、“三角函数”、“平面向量”等多个知识模块串联起来考察.因此，意味着本题有多个角度和方向的解法.

2.试题解法探究

2.1 余弦定理法

拟定计划：本题目标是求出点M的坐标，所以直接设该点为M(x0,y0).根据题干条件，运用椭圆的定义易求得|F1F2|=|F1M|=8、|F2M|=4.观察ΔMF1F2和RtΔMDF1可知∠MF1F2为公共角，将其作为中介量，先在ΔMF1F2中运用余弦定理求出该角的余弦值，随后在RtΔMDF1中可求出F1D的长度，也就得出了M的坐标.

图1

解析：由题意|F1F2|=|F1M|=8，由椭圆定义得|F2M|=12-8=4.如图1，过点M做x轴的垂线，垂足为点D,设点M(x0,y0)，在ΔMF1F2中，由余弦定理得cos∠MF1F2

2.2 勾股定理法

评注：仍然从未知量出发，假设点M的坐标为(x0,y0)，再观察图形可知MD为RtΔMDF1和RtΔMDF2的公共边，所以就以MD为中介量，在两三角形中，用不同的量来表示MD，即可求出点的坐标.

2.3 等腰三角形的性质法

评注：从未知量出发，欲求点M坐标，先求纵坐标.观察在ΔMDF2中，若知道cos∠DMF2，即可求得MD.那么如何求cos∠DMF2？……