江苏省海安市实验中学 (226600) 潘新峰

解析几何是指借助笛卡尔坐标系，利用方程来研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支．高中阶段所学曲线都是用方程来表示的，曲线上所有的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，即曲线的方程、方程的曲线．本文重点关注利用“同解方程”以减少解析几何的运算量.

一、同解原理

原理：已知二次函数f(x)=a1x2+b1x+c1、g(x)=a2x2+b2x+c2，若f(x1)=f(x2)=0且g(x1)=g(x2)=0，其中x1≠x2，则存在λ∈R且λ≠0，使得a1=λa2、b1=λb2、c1=λc2．

证明：因为g(x)=a2x2+b2x+c2，若f(x1)=f(x2)=0且g(x1)=g(x2)=0，所以根据因式分解的理论一定有，f(x)=a1(x-x1)(x-x2)且g(x)=a2(x-x1)(x-x2)，于是存在λ∈R且λ≠0，使得f(x)=λg(x)，即存在λ≠0，使得a1=λa2，又b1=-a1(x1+x2)且b2=-a2(x1+x2)，所以存在λ≠0，使得b1=λb2，同理存在λ≠0，使得c1=λc2．

二、例题选讲

图1

(1)求椭圆C的方程；

(2)设经过点P(2,0)的直线l交椭圆C于A,B两点，点Q(m,0)．

①若对于任意直线l总存在点Q，使得QA=QB，求实数m的取值范围；

②设点F为椭圆C的左焦点，若点Q为ΔFAB的外心，求实数m的值．

例2 (2008年江苏高考18题)设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．

(1)求实数b的取值范围；

(2)求圆C的方程；

(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．

解析：(1)易得实数b的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)．

方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，由于抛物线和所求圆都通过x轴上相同的两点，所以方程x2+Dx+F=0与方程x2+2x+b=0必然同解，于是解得D=2、F=b，在把点(0,b)代入圆的方程，解得E=-(b+1)，故所求圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0．

(3)易得圆C过定点(-2,1)、(0,1)．

评注：通过例1的解析和例2中两种方法的比较，我们可以看出，利用同解原理求曲线方程中的参数.可以大大的减少运算量.

三、巩固练习

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线y=x+1和……