纪定春 蒋红珠

(1.四川师范大学数学科学学院 610068;2.广东省华南师范大学数学科学学院 510631)

一、导数与不定式极限简介

高考数学注重对基础知识、基本概念及数学思想方法的考查.导数的定义是高中数学中重要的概念，是高考数学考查的重点，以导数的定义命题历来受到高考数学命题者的青睐.目前，大部分高中数学教师并不重视对数学概念的教学，正如章建跃先生所讲：“当下的概念课教学多是一种走“形式化”的过程，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍.”这种以解题教学培养出来的学生，在考场上碰到用概念或定义来解决的试题将感到很困难.因此，高中数学教学要注重数学概念的教学.导数的定义是解决高考数学函数压轴题中“不定式”极限的好方法，接下来将对导数的定义和不定式极限作简单的介绍.

导数的定义简介设函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为

这就是函数定义在点x=x0处的导数.

不定式极限简介若函数f(x)和g(x)满足：

二、巧用换元法构造导数定义解高考压轴题

1.在求参数值中的应用

例1(2017年全国高考数学卷Ⅲ第21题)已知函数f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

(2)略.

解析对问题(1)，要使f(x)≥0，等价于x-1-alnx≥0.

考虑分离参数a，显然需要分类讨论.

当x=1时，有f(x)≥0，所以a∈R.

该极限显然为一个“不定式”极限，考虑使用换元法，将该分式极限构造成导数的定义来求解.

令lnx=y，显然有x=ey.

考虑构造函数g(y)=ey，则g(0)=1.

综上，a的值为1.

评注该试题巧用换元的思想，将所求极限的分母lnx换成y，将所求极限的分母构造出导数……