叶正勇

(浙江省衢州二中,浙江 衢州 324000)

切割情形下容阻电路的典型模型,其示意图如图1.

图1

图1中,质量为m、有效切割长度为l、棒有效电阻为r0导体棒通过导轨与定值电值R0及电容器C(开始不带电)构成闭合回路.导体棒在平行于导轨的恒力F作用下由静止开始沿导轨运动;整个导轨处于垂直于导轨平面的匀强磁强B中,假定导轨足够长而电阻不计．试分析导体棒将如何运动?回路中的电流及电容器所带电荷量如何随时间变化?上述过程中能量如何转化?

1 电学量分析

1.1 回路中的电流i如何随时间变化?

从棒开始运动时刻开始计时.由题意,t=0时,各物理量的值(初始值)分别为:电流i0=0,电容器的电荷量q0=0;棒的初速度v0=0,棒的初始加速度a0=F/m.

图1中,对任一时刻t,设电容器上极板的电荷量为q,回路的电流为i,导体棒的速度为v,则

(1)

(2)

其中:R=R0+r.

(3)

将(2)式对时间t求导得

将(1)、(3)两式代入上式化简有

此式即回路中的电流i满足的微分方程．结合初始条件i0=0,解得

(4)

令

(5)

(6)

(5)式简化为

i=IS(1-e-λt).

(7)

(7)式表明:回路中的电流随时间按指数函数增加,且增加到一定的值后保持不变(见i-t图像)．

图2

1.2 电容器的电荷量如何随时间变化?

图3

在i-t图像中,q等于图像围成的面积,由此可定性画出q-t图像(见图3),可见电荷量随时间的变化情况是,电荷量随时间的增加而增大,且电荷量的时间变化率(电流)随时间先增加后保持不变.

2 导体棒运动情况分析

2.1 导体棒的加速度如何随时间变化?

将电流随时间变化的(7)式和(5)式代入(3)式可求得棒的加速度a,

图4

由此可画出a-t图像(见图4),可见棒的加速度随时间按指数函数减少,且减到一定的值后保持不变.

图5

2.2 导体棒的速度如何随时间变化?

在a-t图像中,v等于图像围成的面积,由此可定性画出v-t图像(见图5),可见棒先做加速度不断减少的非匀加速运动,后做匀加速运动.

3 系统中的能量转化与守恒分析

同时,导体棒在电路中又是电源,是提供电能的装置,根据电路中的能量守恒:电源的总功率等于内、外电路中所有电器消耗的总电功率,故对时刻t又满足

此式给出了整个系统的能量守恒关系,它表明,外界提供给系统的能量(用外力F做的功量度)最终转化为电路中内、外电阻上增加的内能、电容器内增加的电场能以及导体棒增加的动能;且数值上等于三者之和．

可以证明,将前面求得的i、q、v、a的表达式代入此能量关系式恒成立.

综上所述,切割情形下的容阻电路模型,具有以下明显特点:

(3) 该模型系统的能量转化与守恒体现在,系统总能量(电阻器的内能,导体棒的动能以及电容器的电场能的总和)的增加量等于外界输入到系统的能量(通过外力做功).

(4) 本模型中电流,加速度,速度随时间的变化情况也适用于纯电阻切割模型和纯电容切割模型.纯电容模型可视为本模型在R→0时的特例;纯电阻模型可视为本模型在C→∞时的特例.