董家豪,徐 乾,余智君，王思慧，周惠君

(南京大学 物理学院,江苏 南京 210093)

纹影法可以测量气体微小密度变化，主要是利用光在被测流场中的折射率梯度正比于流场的气流密度的性质. 折射率的非均匀性使得相邻光线的光程随之变化，从而影响图像的灰度甚至色彩. 纹影法首先由Toepler于1864年提出，并应用在光学玻璃折射率的检测中. 传统纹影方法是基于几何光学的折射定律，依赖于图像灰度与偏转角之间的定标关系. 为了演示纹影法原理，搭建了典型光路，图1是用其对火焰周围的密度场所成的图像. 可以看到，密度的微小差异被转化成光强的变化，因此纹影法可以对流场中的微小密度变化进行显示和测量. 通过纹影法得到的图像定量推算密度场分布，需要先标定所用纹影设备的定标关系，即光线偏折角和光强分布之间的关系. 这使纹影法的应用受到颇多限制，且往往不能精确定量测量，只能给出定性结果.

图1 纹影实验现象

本文基于傅里叶光学分析法，采用激光光源改进了纹影成像法，实验中的激光光源具有更好的相干性，光场经过流场刀片起频谱滤波器的作用. 结果显示，流场的密度变化被转化为像屏上清晰的明暗条纹. 理论推演表明，像屏上的明暗条纹反映了入射光场的相位分布，由此可以推演出密度分布. 数值模拟和实验所得图像基本一致. 本实验所采用的方法无需借助定标关系，简化了传统纹影方法.

1 实 验

图2为实验光路图和实验装置图，包括633 nm半导体激光器、透镜、酒精灯、刀片和光屏.

实验中以酒精灯火焰作为观察对象，火焰周围能产生显著的密度梯度，且易于获取，适于在实验室观察.

(a)实验光路图

(b)实验装置图图2 实验光路图和装置图

首先观察火焰上方的热气流，在频谱面上向一侧移动刀片，像屏上的观测结果如图3所示.

图3 刀片向一侧移动时像屏上所得的观测结果

接下来直接观察火焰，调整刀片位置，直至像屏上得到清晰图像，如图4所示.

图4 直接观察火焰时所得观测结果

实验中观察到，流场的密度变化被转化为像屏上的明暗条纹分布，这有别于传统的纹影法. 理论分析表明，条纹结构反映了入射光的相位分布，进而反映了密度场的结构.

2 理论分析

2.1 基于傅里叶光学的分析

采用傅里叶光学的方法分析纹影. 相干光经过不均匀密度场后带有相位信息，透镜对入射光做1次傅里叶变换后在后焦面上得到频谱，经过滤波器的调制后，经逆傅里叶变换在像屏上得到图像. 分析思路如图5所示.

图5 基于傅里叶光学分析纹影

2.2 理论推演

为计算简便，把火焰区域简化为密度均匀的圆柱区域，如图6所示.

图6 简化的火焰模型

由此可得到入射光通过火焰后的相位分布：

(1)

如图7所示. 因此物函数可以写作

f(ξ)=exp [iφ(ξ)],

(2)

图7 入射光经火焰场后相位分布

经过透镜后，在其后焦面上得到傅里叶频谱

(3)

此处火焰场是一维分布场，因此其频谱可以写作

(4)

以刀片为滤波器，滤波器函数为

(5)

式中Ω为刀片在频谱面上遮挡的区域,如图8所示，在实验中，刀片略覆盖焦点，滤波器函数实取

(6)

图8 刀片滤波器函数

滤波后频谱为

F′(vx)=Φ(vx)H(vx),

(7)

对其做逆傅里叶变换，得到像函数

conv {exp [iφ(ξ′)],h(ξ′)},

(8)

那么光屏上的光强分布为

I(ξ′)=g(ξ′)·conj [g(ξ′)].

(9)

该结果很难求解析解，因此选择用Matlab求数值结果.

2.3 数值模拟

把以上计算过程转化为Matlab代码，得到屏上光强分布模拟结果如图9所示.

模拟结果能反映实验现象中的条纹结构，但条纹分布上有差异. 这是因为模拟中使用的火焰场模型较为简单，但能定性说明实验现象.

(a)模拟结果

(b)模拟光强分布图9 模拟结果可视化和光强分布

2.4 预言其他滤波器效果

为了进一步验证理论和模拟的正确性，换用其他滤波器取代刀片，进行了实验和计算机模拟，两者显示出很好的一致性.

2.4.1 采用针尖作为滤波器

采用针尖在透镜后焦面的中心处遮挡频谱，在光屏上接收到的实验效果和数值模拟效果如图10所示.

(a)实验结果 (b)模拟结果图10 针尖滤波的实验结果和模拟结果对比

2.4.2 采用单缝作为滤波器

采用单缝在透镜后焦面的中心两侧遮挡频谱，在光屏上接收到的实验效果和数值模拟效果如图11所示.

(a)实验结果 (b)模拟结果图11 单缝滤波的实验结果和模拟结果对比

2.5 通过条纹分布反演密度场

进一步的模拟结果表明，像屏上接收到条纹信息反映的正是密度场结构信息，从条纹的分布出发可以反演密度场的分布. 以一维密度场的模拟结果来说明.

假设密度场线性变化，则相位分布也线性变化，形式为

φ(ξ)=Aξ+φ0, Δφmax=16 pixel.

(10)

相位场分布和数值模拟结果如图12所示，光屏上将得到均匀分布的条纹，且满足

Δφ=2πΔN.

(11)

(b)模拟结果图12 线性变化密度场相位分布和模拟结果

假设密度场平方关系变化，则相位分布也平方变化，形式为

φ(ξ)=Aξ2+φ0, ΔφMAX=8 pixel.

(12)

相位场分布如图13(a)所示，数值模拟结果如图13(b)所示.

模拟结果显示，光屏上将得到疏密分布的条纹，并且条纹的疏密程度和相位变化的快慢相一致，同样满足式(11).

下面推导条纹分布与密度场变化之间的定量关系. 记ξ和ξ′分别为物平面和像平面坐标，二者之间满足线性变换关系

ξ=Iξ′,

(13)

由Gladstone-Dale定律

ρK=n-1,

(14)

可以推出

(15)

式中d是一维密度场在光传播方向上的长度.

(a)相位分布

(b)模拟结果图13 平方变化密度场相位分布和模拟结果

由式(15)可知，通过实验测得像平面条纹分布N(ξ′)后，即可积分确定密度场的变化情况. 式(15)是基于一维密度场的情形推导而来的，事实上，对于任意密度场，如果其结构已知，仅有几个待定参量，也一定可以通过条纹信息反演密度场，推导方法和上文所展示的思想一致.

3 结束语

以激光为光源，采用纹影成像法观察火焰密度场，在像面上得到了条纹分布. 从傅里叶光学的分析方法出发，透镜与刀片的作用相当于傅里叶变换与滤波器，通过数值模拟验证了条纹分布的存在；且该理论模型能预言其他滤波器的实验结果. 由像平面条纹分布反演密度场的方法，相比传统的定标方法包含更丰富的物理内涵，加以改进后有潜力应用到更复杂密度场的分析.