蒋 迅 王淑红

(河北师范大学数学与信息科学学院 050024)

1 引言

尺规作图是初等几何教育中的一个课题.它对培养学生的几何想象能力起到了重要作用.在古代，尺规作图的研究曾经促成过多个数学领域的发展.一些结果就是为解决古希腊的三大几何问题而得到的副产品.对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究，并发现了一批著名的曲线.我们也知道，不是任何的几何图形都可以用直尺和圆规作出来的，其中最著名的就是古希腊的三大几何问题.尽管如此，人们还是尝试着用直尺和圆规作出尽可能接近目标的图形来.本文就介绍自古至今人们对古希腊三大几何问题的近似解法，特别是拉马努金(Srinivasa Ramanujan，1887—1920)的一个作图法和丢勒(Albrecht Dürer，1471-1528)的一个作图法.本文也将提及著名数学家陶哲轩(1975—)在其中一个问题上的讨论.

2 古希腊三大几何问题

所谓尺规作图，指的是只使用直尺和圆规经过有限次使用来作出不同的平面几何图形.这里，直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度.而圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度.它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度.

古希腊三大几何问题是早期希腊数学家特别感兴趣的三个问题.它们分别是：

三等分角问题：分任意角为三等分.

倍立方体问题：求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍.

化圆为方问……