建晶晶，洪世煌，陈 吉

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

量子博弈论是近20年来兴起的以量子信息论为工具研究博弈论的一门新兴交叉学科[1]，为量子计算的一个重要发展分支，拓展了经典博弈论。首先，在某些程度上，经典博弈建立在概率体系的基础上，可以被量子化，因此可以被拓展；其次，量子力学的基本规律如叠加、相干、纠缠等，对经济学上一些明显的经典而非量子的领域也有一定的影响。

在量子博弈论研究方面，D.A.Mayer[2]首先提出研究“PQ”问题的量子化，发现博弈的一方可通过采用量子策略战胜他的“经典”对手；随后，J.Eisert等[3]提出两人量子模型，找到一个不同于经典博弈的纳什均衡并完美解决了经典博弈中存在的“困境”。Du J.F.等[4]还研究了三人量子囚徒困境，找到一个新的纳什均衡，在此均衡下，博弈者的收益随着纠缠度的增强而增大。此外，Chen L.K.等[5]研究了量子消相干对量子囚徒困境的影响，发现在引入量子噪声后，纳什均衡并不受影响，而博弈体的收益受影响。在现实研究中，博弈不单单涉及两人博弈，更多的是多人博弈，所以对多人量子博弈的研究更具有实际的应用价值。本文推广文献[3]两人量子模型，讨论4个企业定价的量子博弈，及量子噪声对博弈中决策者最佳策略与收益的影响。

1 四企业价格困境

表1 企业A与其他3个企业的收益矩阵

假设4个企业均有2个价格策略，即竞争性低价和串谋高价。当高价企业数量分别为0，1，2，3，4时，低价企业的收益分别为100，200，300，400，0；高价企业的收益分别为400，0，100，200，300。再以企业A为分析对象，给出其与其他3个企业的收益矩阵，具体如表1所示。其中，H0，H1，H2，H3分别表示其他3个企业采取高价的企业数量。

由表1可知：“低价”是一个严格优势策略，此经典博弈有唯一Nash均衡。若所有企业都选择“低价”策略，则各企业都只得到100的收益；若所有企业都选择“高价”策略，则各企业的收益都将提高到300，情况大为改善。但是，理性思维促使企业不会这样选择，从而陷入两难困境。本文将此博弈量子化，使困境得到解决。

2 “价格困境”量子化模型

2.1 量子化模型的建立

参照两人“囚徒困境”的量子模型[3]建立四企业“囚徒困境”的量子博弈模型(称为模型1)如图1所示。

图1 四企业囚徒困境的量子化模型

图1中，给各企业分配1个比特源，企业可局部操作自己的比特源。将经典策略的高价和低价的可能收益分配给二维Hilbert空间的2个基|0〉和|1〉，则各企业都有2个本征态|0〉(合作)和|1〉(对抗)，系统有16个本征态|ijkl〉,i,j,k,l∈{0,1}，其中i,j,k,l分别指企业A，B，C和D的比特[3]。具体量子化过程如下：

提高收益是博弈的最终目的，根据表1可得企业A的期望收益为：

$A=300P0000+200P0001+200P0010+100P0011+200P0100+100P0101+100P0110+400P1000+

300P1001+300P1010+200P1011+300P1100+200P1101+200P1110+100P1111

(1)

2.2 纠缠度对Nash均衡及收益的影响

当纠缠度不再取最值时，求得系统存在一个阈值γth=π/6，量子博弈在不同的取值范围内会表现出不同的性质，具体如下：

3 量子消相干现象对博弈的影响

在很多博弈中，量子策略总显示出自己的独特优势，其根本原因在于量子本身的纠缠性和相干性。本节讨论了博弈者在最大纠缠态的情况下，量子噪声对量子博弈产生的消相干现象是如何改变博弈结果的。

一般地，量子噪声信道有去极化信道(Depolarizing Channel)、相位阻尼信道(Phase-damping Channel)和振幅阻尼信道(Amplitude-damping Channel)[5]，对应的超算符分别为。

带有消相干系数的量子博弈模型(称为模型2)如图2所示。此型的量子化过程如下：

图2 量子噪声下的量子博弈模型[5]

表2 p2=1时，噪声信道1对量子博弈收益的影响

本文以企业A的收益为例来讨论噪声信道对量子博弈收益的影响。引入2个噪声参数p1,p2(p1,p2∈[0,1])(pi(i=1,2)值的大小反映了信道的嘈杂程度)。p2=1时，噪声信道1对量子博弈收益的影响如表2所示。p1=1时，噪声信道2对量子博弈收益的影响如表3所示。

表3 p1=1时，噪声信道2对量子博弈收益的影响

表3中，F=sinθ1sinθ2sinθ3sinθ4,G=-sin(φ1+φ2+φ3+φ4)-2sin(φ1-φ2-φ3-φ4)+sin(φ1-φ2+φ3-φ4)-sin(φ1-φ2-φ3+φ4)。

分析表2和表3可知，量子博弈的收益只受消相干信道2的影响。因此，假设p1=p2=p∈[0,1]，信道2中的噪声参数p对量子博弈收益的影响如表4所示。

表4给出了企业A的量子策略取任意值时，以噪声参数p为变量的收益函数图像。当参数p趋于1时，企业A的收益渐进值是200，与表2一致。通过研究渐进值，可发现第2信道似乎控制了博弈的行为。直观地说，这种行为是合理的，因为第2个解码信道发生在博弈者已经做出自己的决策之后，而第1信道是在博弈者做出他们的决策之前对状态起作用，但消相干量子博弈的总体结果仍然优于经典博弈。

4 结束语

类比文献[4]研究的三人量子囚徒困境博弈，本文将四人经典博弈量子化，讨论了纠缠和消相干对四人量子博弈纳什均衡以及收益的影响，研究结果与文献[4]研究结果雷同。量子博弈可通过叠加、纠缠、干涉等途径扩大博弈主体的策略空间，从而得到优于经典博弈的结果。因此，可以用量子博弈来分析某些特定环境下(如量子噪声)的复杂物理系统，也可用量子博弈手段来实现某些量子计算的问题。但是，本文未对四人量子博弈纳什均衡的演化稳定性进行分析，系统的初始状态比较单一，有待进一步深入研究。