范韦莉

[摘要]小学数学作为一门基础学科，其核心知识就是基础中的核心，具有内在逻辑的连贯性和一致性。对人教版教材高年级图形与几何领域中的核心知识及其表现形式进行解析，探索高年级图形与几何中核心知识的课堂生长路径，思考并尝试提炼高年级图形与几何中核心知识的教学基本策略。

[关键词]图形与几何;核心知识;生长路径;基本策略

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）08-0001-03

一、梳理与分析：图形与几何的知识结构

要让学生对数学有一个整体的认知结构，教师就要从整体上把握教学知识点问的本质联系，站在一个较高的层次审视与处理教材。“图形与几何”领域的学习对于发展学生的空间观念、培养学生的创新精神和实践能力等方面都有重要作用。要研究该领域，首先就要弄清楚该领域的学习内容，因此笔者对小学阶段人教版教材中图形与几何领域的所有内容进行了梳理：一年级是认识物体和图形的拼组;二年级是图形的运动，包括平移和旋转;三年级开始接触平面图形，主要是认识长方形和正方形及其面积的计算;四年级主要学习平行四边形和梯形，还有平行与垂直;五年级继续研究多边形（三角形、平行四边形和梯形）的面积，并深入研究立体图形，即长方体和正方体的表面积和体积;六年级研究圆的特征、周长和面积，及圆柱和圆锥。除此之外，在低、中、高年级分别安排了观察物体、图形的运动以及位置与方向等内容。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对图形与几何的年段目标做了具体的阐述，用“发展”和“进一步发展”等具有严格层级之分的词语描述了各个阶段要达到的目标。不难看出，分散在不同年级的图形与几何知识的编排特点是：点一线一面一体，呈混合螺旋编排结构，其中一维、二维、三维图形交替共存，递进发展，从生活到数学、从直观到抽象、从整体到局部，教学目标逐步提高。

二、深耕与界定：高年级图形与几何领域中的核心知识及其表现形式

虽受教学时间限制和小学生年龄特点、认知规律的影响，但为了体现小学教育课程的基础性特点，“合理地选择和确定双基”“优化教学内容”“凸显核心知识”的教学势在必行。正如美国21世纪学习框架中所指出的：“21世纪的教育要建立在核心知识基础之上。”这里的核心知识不是指一个个零散的知识点，而是指那些适用范围广，自我生长和迁移能力强的基础知识，它们在数学课程和教材中处于重要的、不可或缺的主干地位。

笔者选取了高年级图形与几何中的内容，从课前诊断、教学设计、学生活动、反馈检测等入手，尝试找到那些学生能理解并在忘记其非本质信息或周边信息之后，依旧可以提取应用，进而提升自身学习力的核心知識。

核心知识一：圆，包括圆的认识、圆周率、圆的周长和面积计算。圆是小学阶段唯一一个曲线平面图形，圆的相关知识中蕴含着丰富的数学史且初步涉及极限思想，为后续圆柱、圆锥的学习及中学圆的相关定理探索做好了准备。

核心知识二：长方体和正方体的特征、表面积与体积计算。这部分内容是系统研究立体图形的开始，是二维向三维扩展的重要节点，学习柱体体积均要以此为支撑。

核心知识三：圆柱和圆锥的特征、圆柱的表面积和体积计算、圆锥的体积计算。圆柱和圆锥皆可看作旋转体，表面既有平面又有曲面。对几何体的认识从表面都是平面到表面含有曲面，是学生认知的一次飞跃，为后续第三学段学习圆的性质奠定了基础。

核心知识四：体积、体积单位及其进率。这也是空间观念从二维向三维发展的重要节点，是后续研究各类图形体积的基础。

核心知识五：用数对确定位置。它是解析几何（坐标几何）的起始，渗透数形结合思想，对初中坐标几何的学习具有重要意义。

通过初步的实践与审视，在高年级图形与几何领域，核心知识主要包括图形的概念和特征、单位计量与周长、体积计算、图形的运动和变化、图形与位置。第一，图形的概念和特征为后续学习起到奠基作用;第二，单位计量主要渗透从直接计量到间接计量的思想方法;第三，图形的位置、运动和变化的学习，有助于发展学生的空间观念和思维能力。由此得出：高年级图形与几何领域中的核心知识，通常处于某个知识链的核心位置或某个教学单元的起点位置，多指向图形与几何内容初次集中教学的起点;其具体内容是学生必须掌握的数学概念、几何图形的特征和计算公式，以及蕴含的操作方法、数学思想方法。这样的数学知识，有利于学生唤醒元认知，形成必备品格和关键能力。

三、探索与实践：高年级图形与几何中核心知识的课堂生长路径

高年级图形与几何的教学应遵循从具体到一般的原则，从大量例证中概括共同属性，提炼核心要素。在梳理人教版教材的过程中，笔者发现：高年级图形与几何中的核心知识相对集中于图形的认识与测量，图形运动的核心知识主要在“图形的放大与缩小”一课，图形位置的核心知识主要在“确定位置”一课。故下面提炼的核心知识教学的操作路径主要针对图形的认识与测量。

阶段一：感知。当学生熟悉相关内容后，教师组织学生谈论学习对象，了解学生是如何理解的，并提供信息引导学生从事有目的的活动或获得相关的认知。如教学认识长方体时，教师先让学生量出牙膏盒的长、宽、高各是多长，从而得出：牙膏盒摆放的位置和方向不同，它的长、宽、高是可以变换的;然后再揭示长、宽、高的概念，并请学生找一找牙膏盒各个面的长、宽各是多少。

阶段二：探索。为了让学生主动地进行探索，教师应选取那些目标概念和方法较为明显的材料和任务。如体积与容积的教学中，提供纸盒、纸巾、土豆和鸡蛋等教学素材，以“把这些物体根据体积的大小排列”等任务，促使学生根据物体特征思考不同的体积比较方法。有些物体能直接判断体积大小，当体积较接近时可用计数比较的方法（凸显体积大小与单位体积的关系），还可用排水实验比较不规则物体的体积大小（蕴含体积等量转化）。这就赋予看似简单的内容多元的意义和内涵。

阶段三：概括。教师应给予学生自主分类、比较异同、同伴质疑等活动机会，并组织学生对学习对象的共同属性进行讨论和描述，以使学生获得更为清晰的认知。如体积与容积的教学中，在建立体积和容积概念的基础上，还需要帮助学生体悟两者之间的联系与区别。可以纸箱为教学素材，逐步呈现三个问题：“如果纸箱的外壁不断加厚，体积和容积有什么变化？”“如果纸箱的内壁不断加厚，体积和容积有什么变化？”“如果纸箱的内壁不断变薄，体积和容积又有什么变化？”在这样充满挑战的渐进式问题情境中，学生边想象边体会物体的体积和容积随着壁厚的变化而发生的变化。对于第三个问题，可凸显“零厚度”，此时容积即等于体积，渗透了极限思想。从中学生能概括出体积必须是从物体外部观察，容积则需要从物体里边观察的结论，进而让核心概念的建构与理解走向深刻。

阶段四：辨析。给学生提供不同层次类型的学习材料，再通过对一些标准图示及变式的判别，加深学生对学习对象的内涵与外延的进一步理解。如帮助学生建立长方体模型时，先去掉一条棱，引导学生想象这个长方体的大小，再去掉一些棱，提问：“至少留下哪几条棱，才能想象出这个长方体的大小？”学生边想象边操作，最后发现至少要留下相交于同一个顶点的三条棱。这一活动使学生对长方体的长、宽、高的理解由辨认各部分名称上升到知道“长、宽、高决定长方体的大小”。去棱的过程不仅深化了学生对长方体性质与特征的认识，还培养了学生的空间想象能力。

阶段五：综合。引导学生对所学内容进行总结与归纳，并能将其整合到一个易于描述和应用的网络结构中，即沟通相近概念，形成概念体系，实现认知由“要素”向“关系”提升。如探索长方体和正方体的异同时，学生不仅能从面、棱、顶点去分析，还能画出凸显包含关系的图示，厘清相应的类属关系，从而形成合理有序的知识系统。

四、思考与提炼：高年级图形与几何中核心知识的教学基本策略

1.关注认知，唤醒经验一核心知识教学的首要前提

数学教学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上的。图形与几何内容来自丰富的现实原型，与现实生活联系紧密。然而，这部分内容涉及三维空间与二维平面的互换，而小学生的年龄特征决定了他们的认知水平有局限性，空间观念难以建立。因此教师要吃透学情，充分关注学生的原有认知，重点研究学生的现实起点，寻找核心知识与学生最近发展区之间的最佳契合点。如“圆柱的认识”的前测题：

（1）关于圆柱，你知道什么？

（2）请你任意画出一个圆柱。

對于第（1）题，80%的学生能说出：圆柱可以滚动;圆柱上下直直的，有两个圆，且一样大;圆柱有一个侧面。对于第（2）题，73%的学生画不标准或画不出来。从前测数据中可以发现：学生在现实生活中所接触的物体都是以三维状态存在的，但学生对它们大多是一种整体的直觉认识，很难建立其立体的表象。因此教学中可以先让学生通过摸一摸、看一看、量一量、比一比、滚一滚等实际操作认识圆柱的面的特点，采用多种方法探索圆柱的两个底面圆完全相同的特征;再引导学生观察、推理，运用立体旋转的方式唤起学生的原有认知。

2.创设情境，引疑激趣——核心知识教学的重要基础

布鲁纳说过：“探索是数学的生命线。”教师要能捕捉生活中有趣的现象，创设出和谐愉快而又充满挑战性的情境，以促进核心知识教学。如教学“圆的认识”时，第一步，设问：“如果你给汽车选轮子（长方形、正方形、圆形），你会选哪一个？”第二步，播放视频，让学生观察汽车开动的情况;第三步，合作探索为什么选用圆形轮子的汽车行驶起来不会忽高忽低。这样的教学设计，把原本平淡甚至枯燥的数学知识转化成丰富有趣的情境，激起学生主动探究的欲望。

3.聚焦体验，促进理解——核心知识教学的必要手段

波利亚认为，学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。观察是学生获得初步空间观念的主要途径，包括对图形的观察、对实物模型的观察以及对实验的观察等。如教学体积概念时，教师先出示两个同样大小且装有同样多的水（水未满杯）的杯子，再拿出一块石头放入其中一个杯子，学生观察到水位上升了，因为原来水的位置被石头占去了;然后再拿出一块更大的石头放入另一个杯子中，学生发现这次水位上升得比刚才高，因为这块石头比刚才那块大。这时让学生说说对体积的理解，学生就能逐步完善对体积这一抽象概念的认知。当然，对于核心知识的教学，仅靠观察是远远不够的。学生在学习和理解知识时会习惯性地使用直观思维，然而，只有将抽象的知识直观化，才能实现知识的内化，动手操作是将知识直观化的重要方法。如当学生认识扇形的特征，形成清晰的“圆心角”“弧”“扇形”等数学概念后，可以安排学生用圆形纸片动手制作一个扇形，并涂色。学生在动手操作中体会到准确地找到一个圆的圆心是制作扇形的关键;在展示自己作品和评价同伴作品的过程中，感受到扇形的大小与半径、圆心角这两个因素有关，逐步体悟到“扇形是圆的一部分”这一特点。

4.联想想象，拓展空间——核心知识教学的有效措施

心理学认为，想象是人在头脑里对已储存的表象进行加工改造，形成新形象的心理过程。数学中很多概念的建构都要基于想象，它是培养学生空间观念的一个重要途径。如教学“圆的认识”时，在学生理解了定点、定长，能用圆规画出圆后，可播放体育老师拿着绳子和大勺子在操场上画出了一个大大的圆的视频，接着让学生结合钟面上的指针运动和机场雷达想象“圆”，并描述这是一些什么样的圆;而后让学生基于呈现的两个点，闭着眼睛想象，让其中一个点动起来，得到一个新的点，继续转，又得到一个新的点……把这些点连起来，就成了一个圆。两次想象活动，既是对圆的特征的一次应用，又反过来促进了对圆的认识，更使学生的思维能力与空间观念得到了进一步提升。

5.挖掘内涵，把握本质——核心知识教学的关键途径

知识的内涵是这一知识区别于其他知识的特质，虽然表征这些“特质”的方式是多样的，但这些“特质”是唯一且不可替换的。如对于“图形的放大和缩小”的本质含义“图形对应边按一定的比例放大或缩小”，接近一半的学生能大概了解，但缺乏完整清晰的认识，还有少数学生把这一概念和生活中的概念混淆。课堂教学中，教师就可以引导学生画图举例说明什么是图形的放大，讨论数学意义上的“放大”与生活中的“拉升”有何区别，在完成对“放大”的定性认识之后，再组织学生探讨关于放大的定量刻画。又如圆的面积计算方法的探究，其实就是让学生懂得，在探索陌生知识时，可以把陌生的知识化为熟悉的知识，但需要根据学情，进行后续深度和广度的挖掘，让学生知道“转化”存在多种可能性：圆可以转化成长方形、平行四边形、三角形等，虽然拼出的图形不同，但本质一致：化陌生为熟悉。这样的补充、渗透、完善，促进了学生对核心知识的实质性理解，进而建立正确的知识体系。

总而言之，要使学生能获得长效性发展，获得真正的数学素养与思维能力，就得立足于核心知识的教学，要厘清知识的内涵和外延，让学生学习的主线更加明晰地展露出来。但形成完整的知识体系，非核心知识的补充与完善同样必不可少。非核心知识可以开阔学生的视野，可以让知识的呈现更为丰盈，可以使知识的联系更为紧密。当然，无论是核心知识教学还是非核心知识教学，都需要教师不断地去实践、反思和提炼。