广东省广州市花都区第二中学 杨伟达 510800

在解题教学中，转化与化归是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．其中变换是转化和化归的一种形式，在解题中常常用到．形如变换位置、变换数值、变换视角等，它往往会激起学生的思维火花，开启数学思维之门，在解题中起到四两拨千斤的效果．

1 变换位置

有这样的一类几何题，直接用传统方法求解、证明往往比较困难，此时需要转化思路，在确保原式不变的前提条件下，变换一个位置，问题就会迎刃而解.变换位置常有变换点、变换线、变换角等．

1.1 换点

在等价条件下，用某个点替换另一点达到快速解题.这一方法是在立体几何中解决线面距离问题时的常规手法．

例1（2019届广州市高三年级调研测试19）如图1，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF//AB，AB=2,BC=EF=1,AE=6,DE=3,∠BAD=60°，G为BC的中点.（1）求证：FG//平面BED；（2）求证：BD⊥平面AED；（3）求点F到平面BED的距离.

分析：利用传统方法作垂线求点F到平面BED的距离比较困难，不妨利用线面平行的性质，转移到另一点位置，从而转化为求另一个点到面的距离（方便求得）.再利用等体积法间接求高．

图1

图2

解：（1）略．（2）略．

（3）如图2，由（1）FG//平面BED所以点F到平面BED的距离转化为点G到平面BED的距离，不妨设点G到平面BED的距离为h，过E作EM⊥DA，交DA的延长线于M则EM⊥平面ABG，所以EM是三棱锥E-ABG的高，在△ADE中

1.2 换线

有这样的一类题，在涉及线段长度之和时，常用某一线段替换另一线段，以直代曲，从而方便解题.比如几段线段之和求距离的最值问题在几何试题中时常用到换线．

例2 （2019年广东一模15）在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=2，若点D，E分别在棱PB，PC上运动（都不含端点），则AD+DE+EA的最小值为_____.

分析：本题考查了立体几何两动点问题，涉及两段或两段以上的线段之和，通常采用以直代曲即可解决.本题最根本的办法是转化为同一平面，找对称、找全等，替换某线段长度，最终达到两点间线段最短．

图3

解：如图3，点P，B，C确定一个平面α因为AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=2所以△PAC,△PAB均为等腰直角三角形，所以∠DPA=∠EPA=45°,BC=2,AF=BF=FC=1.在Rt△PAF中，PF=3，在Rt△PFC中，PF=3，FC=1，所以，所以∠PFC=30°.在平面α内，分别过点P作辅助线PM,PN，满足PM=PN=2，且∠CPM=∠BPN=45°,由此△PAE≅△PME，△PAD≅△PND，所以AE=ME，AD=ND，所以AD+DE+EA=ND+DE+EM，当且仅当点N，D，E，M在同一直线时，AD+DE+EA取得最小值，在Rt△POM中，∠OPM=75°，PM=2,OM=同理，ON=PNsin75°=，所以即AD+DE+EA的最小值为

1.3 换角

有这样的一类题，在等价条件下，通过平移（或者替换）一条线段或两条线段，达到角的变换，进而可将问题解决.比如空间角转化为平面角、弦切角、圆周角等等．

例3（2018全国卷2）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）.

分析：在涉及求异面直线夹角时，常常平移直线到某一点．解题的策略是异面问题转化为平面问题，找到平面上的点，进而找到异面直线的夹角．

图4

解：补上如图4所示的长方体CDEF-C1D1E1F1，连接DE1，B1E1易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，故选C．

2 变换数值

有这样的一类题，直接解题比较困难，发现与某一结构类似，比对结构，通过缺什么补什么，发现某值可以用另一种形式替换，变换数值后，结构形式齐整，用熟悉的方法即可将问题解决．

分析：可将1替换成sin2α+cos2α，采用弦化切，原式可化为含有正切的函数式，代入，计算，求值.

图5

3 变换视角

有这样的一类题，可以从多角度思考，变换视角后，发现这一式子可以用另一个视角去审视、去思考，此时解题就会豁然开朗．比如数形转换、主元转换、函数与方程转换等等，这样方法就另辟蹊径，简单明了，对解题起到事半功倍的效果．

例5（2020花都区高一期末统考）在等