云南省玉溪第一中学 武增明 653100

试题1（2008年高考江苏卷文科数学理科数学第18题）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C（.Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）问圆C是否经过定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.

试题2（2009年高考江西卷理科数学第21题）已知点P1(x0,y0)为双曲线1（b为正常数）上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于点P2（.Ⅰ）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；（Ⅱ）设轨迹E与x轴交于B,D两点，在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0)，直线QB,QD分别交y轴于M，N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点.

试题3（2010年高考四川卷理科数学第20题）已知定点A(-1,0),F(2，0)，定直线，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B,C两点，直线AB,AC分别交l于点M，N（.Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

图1

试题5（2019年高考北京卷理科数学第18题）已知抛物线C:x2＝-2py经过点(2，-1).（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N，直线y＝-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

试题1赏析：（Ⅰ）显然b≠0.否则，二次函数f(x)＝x2+2x+b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0，0)，(-2，0)，这与题设不符.由b≠0知，二次函数f(x)＝x2+2x+b的图象与y轴有一个非原点的交点(0,b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x2+2x+b=0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4-4b＞0，即b＜1.所以b的取值范围是(-∞，0)∪(0，1).

（Ⅱ）由方程x2+2x+b=0，得x=-1±.于是二次函数f(x)＝x2+2x+b的图象与坐标轴的交点是设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得方程组，因b≠0，得的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b＝0.

（Ⅲ）圆C过定点.假设圆C过定点(x0,y0)（x0,y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20+y02+2x0-y0+b(1-y0)＝0（*）.为 使（*）式 对 所 有 满 足b＜1（b≠0）的 b都 成 立，必 须 有1-y0＝0，结合（*）式得x20+y02+2x0-y0=0.解得经检验知，点(0，1)，(-2，1)均在圆C上.因此圆C过定点.

试题2赏析：（Ⅰ）由已知得F2(3b，0),(x-3b)，令x＝0得y＝9y0，即P2(0，9y0).设迹E的方程为

故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.

试题1的第（Ⅲ）问及试题2、试题3、试题4、试题5的第（Ⅱ）问都是解析几何中的动圆恒过定点问题，从赏析过程中，已经为我们如何解决解析几何中的动圆恒过定点问题指出了求解思路.其主要解答思路是，抓住直径所对的圆周角是直角，进而抓住两条线段垂直，进一步得这两条线段对应的向量的数量积为零，于是把问题转化为恒等式问题，这时的解答思路与判断动直线是否恒过定点一样，凑定值获解.试题1的第（Ⅲ）问及试题2、试题3、试题4、试题5的第（Ⅱ）问求解过程中都使用了两个非零向量垂直的定义.与上述试题如出一辙的还有以下试题6，读者不妨自己试一试.

试题6（2018年全国高中数学联赛四川省预赛试题第13题）已知双曲线，设其实轴端点为A1，A2，点P是双曲线上不同于A1，A2的一个动点，直线PA1，PA2分别与直线x＝1交于M1，M2两点.证明：以线段M1M2为直径的圆必经过定点.