马文杰

反思与“重构”数学学习错误矫正原则

马文杰

（台州学院 电子与信息工程学院，浙江 台州 317000）

为了全面、深入地体现中小学生数学学习错误的“固有特征”，数学学习错误矫正的完整过程、主要环节与主要内容，在综合相关研究基础上，基于建构主义、社会互动，以及习近平“四个引路人”等理论，从更广泛的研究视角，“重构”了数学学习错误矫正原则，即：合理性原则、可用性原则、真实性原则、自主性原则、适切性原则、启发性原则、过程性原则、多样化原则、交流性原则、巩固性原则、优化性原则、评价性原则、补偿性原则．可以直接“指导”中小学数学学习错误矫正活动，也可以在一定程度上丰富与完善数学学习错误矫正理论．

数学学习错误；数学学习错误矫正原则；反思；重构

学生的数学学习错误具有重要的教育与研究价值，对学生数学学习错误的分析与矫正，是数学教育及其数学教育研究的重要课题之一．基于建构主义、社会互动，以及习近平“四个引路人”[1]等理论，在综合分析数学学习错误矫正原则已有研究的基础上，从更广阔的视角，反思与“重构”数学学习错误矫正原则．

1 基本内涵

一方面，不同研究者，对于学生数学学习错误基本内涵的界定并不完全一致，有些甚至有较大差异．另一方面，从教育实践层面而言，中小学数学教师对学生数学学习错误所持有的态度与所具有的认识也是形形色色．这当中既有实质的分歧，也有认识层次上的差异，并与数学教师的数学素质、数学观、数学教育观等密切相关[2-7]．郜舒竹等对学生的数学学习错误进行了较为长期的研究，并在一些研究成果中对数学学习错误基本内涵进了较为全面、深入的分析[4-6，8-12]，体现出一定的数学特色与数学本质．

研究赞同并采纳郜舒竹对数学学习错误的以下界定：根据小学数学（知识）的“客观性和主观性”特征，将其分为“规律性知识、规则性知识和规定性知识”3种类型：①规律性知识，即对数学中某种客观规律的描述；②规则性知识，即依据数学自身逻辑发展的需要而人为规定的内容；③规定性知识，即依据人的某种需要或者习惯而人为规定、约定俗成的内容，规律性知识具有较强的客观性，而规则性知识和规定性知识具有明显的主观特征．分析学生的数学学习错误时，不应将“辨别错误的标准局限于人的主观方面”，而应“定位于数学中的客观实际”，亦即“规律性知识”，“辨别的标准主要看其违背的是客观规律还是主观规则或规定，违背客观规律的结果自然可以认定为错误．若违背的是主观规则或规定，需要慎重对待”[5-6]．

对于中小学数学内容而言，郜舒竹的以上分类具有一定普遍意义．从而，其所确立的辨别学生数学学习错误的相应标准也就具有了一定普适性．总的来说，中小学生的数学学习错误主要表现为对数学知识客观规律性的违背．在数学学习错误的分析与矫正过程中，中小学数学教师主要应关注此类数学学习错误．而当学生的数学学习表现，即其在数学学习过程中表现出的数学认识，数学学习行为和数学学习结果等，与数学的规定性知识和规则性知识相违背时，并非必然是数学学习错误，这就需要教师以其数学学习表现是否具有数学的“合理性”为基本标准，对其进行具体分析与判断．

中小学生的数学学习错误，主要是其错误数学认识的外在表现，具有明显的个体性特征与一定的群体性特征，等等．基于此，界定数学学习错误矫正的基本含义为，通过教师启发性讲解，或引导学生以自主探究、共同讨论等方式，分析、纠正其错误数学认识，进而促使学生理解与掌握相应数学知识，提升数学能力的过程．

2 研究意义

对数学学习错误矫正原则进行“重构”研究，至少具有以下两方面基本意义．①对中小学数学学习错误矫正活动具有一定“指导”作用．在数学教学过程中，学生总会或多或少地出现一些数学学习错误．因此，对其进行科学、合理而有效的矫正就成为中小学数学教师的一项基本“教学常规”．中小学数学教师如何做好学生数学学习错误矫正的“引路人”[1]：如何促使学生对其数学学习错误持有更为正面、积极的情感与态度；如何通过数学学习错误矫正锤炼学生的意志品质；如何更加有效地引导学生矫正其数学学习错误，并对其建立更加全面、客观和辩证的认识；如何在数学学习错误矫正过程中进一步拓展、深化学生的数学理解，进一步提升学生的数学思维，以及数学的创新意识与创新能力等．在一定程度上而言，这一系列重要问题的妥善解决，都有赖于对数学学习错误基本内涵、基本特征，及其矫正原则等进行更为多元、全面与深入的研究．在一定程度上而言，学生数学学习错误的基本内涵与基本特征，“决定”了对其进行矫正时应该遵循的基本原则，而数学学习错误矫正的基本原则,又对选择相应的矫正策略与矫正方式等具有直接而重要的“指导”作用．另外，数学学习错误矫正原则的“重构”研究，对中小学其它理科学习错误矫正也具有一定的借鉴与启发作用．②可以在一定程度上丰富与完善数学学习错误矫正理论．相对于具体的数学学习错误矫正策略和矫正方法而言，数学学习错误矫正原则更为概括、抽象，也更为上位,从而也就表现出一定的“理论形态”．

3 进一步分析

范德宪在数学教学中十分注重对学生“解题错例”的收集与整理,并将其分类整理，建立数学“病例卡”，用以诊断病因，对症下药，收到很好的教学效果．范德宪认为建立数学“病例卡”应遵循以下原则：典型性原则、针对性原则、普遍性原则、启示性原则．并认为病例卡的核心内容是对病例的诊断，其诊断方法主要有：面诊法、问诊法、议诊法、会诊法等[13]．谢绍义认为上数学纠错课应遵循以下原则：目的性原则、针对性原则、主体性原则、巩固性原则[14]．陶君认为，纠正学生在数学学习中出现的解题错误时，既要遵循一般的教学原则，还要遵循以下4个“特殊”的教学原则：适时性原则、分类性原则、差异性原则和自主性原则[15]．洪幸良提出了提高纠错教学有效性的4条基本原则：关注学生的情感因素，注意保护学生的自尊心；精心设计纠错教学，把发现错误的机会留给学生；既要注意纠错的及时性，又要注意纠错的补救性；灵活选用不同的纠错方式[16]．冯竹林提出了纠正初中生数学解题错误的以下4条原则：主体性原则、针对性原则、分类性原则、巩固性原则[17]．丁华干认为高中生数学学习中错题矫正的原则有：主体性原则、内化性原则、生成性原则、反馈性原则、效益性原则、迁移性原则[18]．马文杰提出并分析了矫正学生数学解题错误应遵循的11条基本原则：真实性原则、价值性原则、适时性原则、过程性原则、自主性原则、启发引导原则、优化原则、巩固性原则、多样化原则、评估性原则、补偿性原则[19]．史桂存认为矫正少数民族高一学生函数解题错误时应遵循以下原则：心理性辅导原则、针对性原则、适时适度性原则、二维训练原则．其中“‘二维训练’是指在对少数民族高一学生进行数学教育过程中打破单一的逻辑思维训练，进行形象思维和抽象思维这两种思维能力的综合训练”[20]．

以上关于数学学习错误矫正原则的相关研究，其研究内容具有较大的一致性．比如，有4位研究者[13-14，17，20]都提到了“针对性原则”；有3位研究者[14，17，20]都提出了“巩固性原则”；有6位研究者[14-19]提出了“主体性原则”（自主性原则、把发现错误的机会留给学生），且其主要内涵是一致的．还有4位研究者[15-16，19-20]提出了“适时性原则”（注意纠错的及时性；适时适度性原则），其基本内涵也具有一定一致性，等等．另外，对以上8位研究者所涉及的具体研究内容进行更为深入和详细的分析表明，不同研究者在某些研究内容之间“实质的一致性”进一步扩大与增强．

不同的研究者关于数学学习错误矫正原则的相关研究，其研究内容具有较大差异性．首先，一个明显的“基本事实”是：不同的研究者提出的数学学习错误矫正原则的条数变化幅度相当大：从4条到11条不等．其次，通过进一步分析可知，不同的研究者，其研究视角和研究侧重都有较大差异．比如，只有一位研究者[14]明确提出数学学习错误矫正的“目的性原则”；只有一位研究者[19]明确提出数学学习错误矫正的“真实性原则”；也只有一位研究者[20]提出数学学习错误矫正的“二维训练原则”，等等．另外，对不同研究者的具体研究内容进行更为深入的分析与比较，可以发现不同研究者某些研究内容之间的相异性进一步“拉大”．

以上大多数已有研究（除马文杰[19]外）对数学学习错误，及其数学学习错误矫正的特殊性方面揭示欠全面，解释欠深入，未能全面而深刻地体现出数学学习错误、数学学习错误矫正，及其数学学习错误矫正原则的“固有特征”等．因此，在一定程度上而言，也使其所构建的数学学习错误矫正原则失去了“本真意义”与应有价值．

整体地来分析，以上已有研究的主要不足是十分明显的．绝大多数研究（除马文杰[19]外）是一种孤立性、局部性的“点状研究”．在其研究过程中，研究者主要孤立地研究了数学学习错误矫正某几个方面的内容，并对应地形成了相应矫正原则．而没有整体地、联系地研究整个完整的数学学习错误矫正过程，从而形成比较系统、互相联系的数学学习错误矫正原则体系．

关于数学学习错误矫正原则更为可取、合理与有效的研究应该是：其所构建的数学学习错误矫正原则体系，既应充分而深刻地体现出数学学习错误，及其数学学习错误矫正的本质特征，也应充分而全面地体现出数学学习错误矫正的完整过程，突出其主要环节和主要内容等．因此，非常有必要对数学学习错误矫正原则进行更为全面、深入的研究．

4 “重构”原则

尽管以上不同理论对研究所构建的某些特定的数学学习错误矫正原则的支撑作用有大小之分，但其与研究所构建的13条数学学习错误矫正原则之间并不是一种简单的对应关系，而是作为其理论基础，整体地支撑着整个数学学习错误矫正原则体系．在“重构”数学学习错误矫正原则的过程中，基于建构主义理论，研究更加关注数学学习错误，及其数学学习错误矫正的个体性特征、建构性特征，以及学生在其数学学习错误矫正中的主体地位与自主性，等等．基于社会互动理论、习近平“四个引路人”理论，研究更加关注数学学习错误的群体性特征，数学学习错误矫正的社会性特征，及教师在学生数学学习错误矫正过程中的主导作用等．

在矫正中小学生数学学习错误的过程中，首先，中小学数学教师应该对学生的数学学习错误建立正确的认识，持有积极的态度．这也是研究构建合理性原则、可用性原则、真实性原则的初衷．其次，应该在整个矫正过程中突出学生的主体地位与教师的主导作用，充分发挥学生的主观能动性，适当启发引导学生通过自主探究、合作交流解决问题．这些矫正思想主要体现在研究所构建的自主性原则、适切性原则、启发性原则、交流性原则等．再次，应该在整个矫正过程中充分体现数学学习错误的固有特征，及其数学学习错误矫正的完整过程、主要环节与主要内容．这些矫正思想主要体现在研究所构建的自主性原则、过程性原则、多样化原则、巩固性原则、优化性原则、评价性原则和补偿性原则等．

4.1 合理性原则

在中小学数学教学中，学生出现一些数学学习错误是一种正常的现象，具有一定的必然性与合理性[9，11，21-23]．学生的数学学习错误与数学学科特点密切相关．数学学科具有较高的抽象性、概括性、连贯性与整体性等．只有学习者具备一定数学知识基础，具有相应数学认知能力，在数学学习过程中付出相当的认知努力，才能较好地理解与掌握相应数学知识．另一方面，历史上不少数学家在发现（创造）相应数学知识的过程中，经历不少挫折，走过不少弯路，出现很多失误，有些失误在事后来看甚至堪称“低级”．而由“历史发生原理”[24-25]可知，学生个体在学习相应数学知识的过程中所遭遇的种种挫折，经历的种种错误，与历史上那些数学家所遭遇的“境遇”具有一定的相似性．如果教师能够理解当时的数学家在发现（创造）那些数学知识的过程中所出现的各种错误，那么教师就更应该理解当下的学生在学习相应数学知识的过程中“遭遇”一定挫折，出现一些错误，既有一定必然性，也有相应合理性．

学生的数学学习错误与数学教学过程密切相关．理想的数学教学，应在对学生的数学知识基础和数学学习能力等具有充分了解的基础上，根据学生的数学学习需要，以及数学建构特征施以个别化的数学教育．但实际的情形是，人是怎么学习的，并没有哪种理论能够完全解释清楚，或者更极端地说，目前对人类的学习机理和学习过程依然知之不多，更不要说对学生的数学学习机理与数学学习过程有足够的了解．再加上较大班额的数学课堂教学，数学教师的教学水平参差不齐，更大大地“拉低”了数学教学的合理性与有效性．因此，在学生的所有数学学习错误当中，必然有一部分是由于数学教学不当所造成的，“教师有时候也是导致学生错误的原因之一”[4]．另外，即使再完美的教学设计，在教学实施过程中，都需要不断地对其进行反馈和调整，以真正契合学生学习需要，并与其进行互动[26]．而学生在数学教学过程中表现出的各种数学学习错误与数学学习困惑等常常成为进行数学教学调整的最基本依据之一．

学生的数学学习错误与学习者自身密切相关．学生在数学学习过程中出现的数学学习错误与其数学学习经验、数学知识基础、数学认知能力，以及数学学习心向等有密切关系．另外，学生的数学学习错误充分地表明了数学学习过程的复杂性与建构性，学生的数学学习错误在很大程度上正是其基于具体的数学教学过程，以及自己的数学学习经验等进行自我数学建构的“产物”，只不过它们不同程度地违背了数学知识所具有的客观规律性．

4.2 可用性原则

学生的数学学习错误绝非一无是处，而是有用的，也是可用的[11，19]，它有重要的教育价值，是数学教学的重要资源．在一定程度上而言，学生的数学学习过程是一个不断地排除、修正、利用错误的过程[22]．

学生的许多数学学习错误具有一定“合理因素”．学生的数学学习错误，并非总是完全错误的，教师如果仔细分析，总能从其错误认识中找到一些“合理因素”（合理成分[2]）．比如，有些数学解题错误仅仅是一些细微的计算错误，其解题方法是正确的；有些数学学习错误是“错”中有“对”，正误夹杂；有些数学学习错误的思考方向是正确的，解决问题的思路是可行的，等等．这就需要教师在分析学生数学学习错误的过程中，实事求是地指出，或引导学生自主地分析其正确因素与错误之处，在矫正过程中积极利用其正确因素，并通过正误对比加深学生对其错误认识的理解，通过适当变式练习巩固与拓展学生的正确认识等[23]．因此，在分析与矫正数学学习错误时，教师要引导学生深入分析、积极挖掘、充分利用其数学学习错误所蕴含的“合理因素”．基于学生数学学习错误的“合理因素”进行错误矫正．对学生来说，这样的矫正处在其“最近发展区”，更为自然、合理与有效，也更易于理解、接受与内化．另一方面，由于在矫正过程中，既充分利用了学生数学学习错误中的“正确因素”，也深入分析与有效矫正了错误，可以使学生对其数学学习错误的认识“更加辩证、全面、深入和客观”[7]．

学生的数学学习错误是重要的数学教学资源．首先，数学学习错误揭示了学生数学理解上的误区与盲点．各种数学学习错误背后所隐含的是学生各种错误数学认识．一方面，学生的数学学习错误对其数学学习具有一定的干扰与阻滞；另一方面，学生的数学学习错误具有一定的合理性、资源性价值与可利用性，通过深入分析学生数学学习错误，可以在一定程度上揭示其数学思维的水平与特征，也可以对数学教学进行一定的诊断与反馈等[7]．其次，学生的学习错误与其有直接关系，他们自己或同伴的学习错误更能激发其“一探究竟”的迫切愿望．在教学过程中合理利用这些错误资源，既可以最大限度地调动学生的求知欲望，也能够最大限度地达成他们的“自我实现”[26]．“与已经定型的教材等外来资源相比，学生学习中产生的错误更贴近学生的实际，更能引起学生的兴趣，更能促进其自我实现，因此学生的错误是更鲜活的教学资源．”[26]另外，“错误案例的正确运用会激发学生的元认知，并且还可以引起学生自我解释、反思、探究、批判性的思考”[9]，在Borasi的相关研究中，分析了运用学生数学学习错误的3种基本取向：矫正取向、发现取向、探究取向，并引导学生基于其数学学习错误进行数学探究与数学发现[27]．在一定程度上而言，这是对学生数学学习错误的一种创造性地运用与研究，非常值得在数学学习错误矫正过程中进行学习与借鉴．

4.3 真实性原则

尽管有些经验丰富的数学教师确实可以预计出学生在数学学习过程中的部分错误表现，但学生实际的数学错误表现远比数学教师，或数学教育研究者所能想象的更为丰富、深刻．真实的具体的数学学习错误的研究价值，也远比一般数学教师和数学教育研究者所认为的更为巨大、深远．数学学习错误的教育价值蕴含在一个个真实的数学学习错误之中，也蕴含在一个个具体的数学学习错误的形成过程与矫正过程中．因此，教师要分析与矫正学生的数学学习错误，首先应该以适当方式全面收集、详细整理学生的数学学习错误，并对其进行科学的分析与研究．应该关注一个个“真实”的数学学习错误是什么，它们是如何形成的，主要受到哪些因素影响，一个个“真实”的数学学习错误背后所隐含的学生的错误认识是什么，这些错误认识是如何形成的，学生又是如何意识到自己的错误认识，并逐步对其进行改变，等等．尽管研究强调教师要关注和分析学生在数学学习过程中真实发生的错误，但也应注意并不是所有“真实”的数学学习错误都具有同等教育价值，更不是在矫正过程中要把学生所有的数学学习错误都原原本本地“和盘托出”，而应根据矫正需要等对其进行适当选择、取舍、归纳与强调等[19]．

4.4 自主性原则

对于学生暴露出的学习错误，教师应尽量避免将之直接指出和予以纠正．应该给出错的学生提供适当的自我反思机会，引导其通过自我反思，或与同伴讨论自己去发现错误、分析错误、纠正错误[26]．在学生自主纠错的过程中，教师并不是放任不管，而是需要“站在更高的角度去指导学生，以引领学生走出认知的误区，提高学生的认知能力、自查能力，养成缜密的思维习惯，从而提高纠错教学的效率”[16]．

一方面，学生个体的数学学习错误是一种具有一定个性化特征的数学学习现象，是与学习者个体息息相关的．另一方面，在一个特定的数学学习群体中，数学学习错误必然表现出相应的群体性（共通性）[23]．在分析与矫正学生数学学习错误的过程中，应该充分激发与调动学生自身的积极性与主动性，充分体现其主体地位，充分发挥其主观能动性．数学学习错误是学生数学错误认识的一种外在表现，而要改变学生自身所存在的数学错误认识，就需要充分调动学生所具有的各种认知与非认知力量，进一步激发与调动学生的矫正需要、矫正兴趣与矫正动力，促使学生尽可能通过自己的认知努力，对其数学学习错误进行深入分析与彻底改正等．即使有些学生通过自主探索活动并不能完全“解决”其数学学习错误，但通过相应的自主探索活动，他对自己数学学习错误的认识总要比初始阶段更为清晰、全面与深入．这也是有益于教师通过启发性讲解促使学生完全理解，进而彻底矫正其数学学习错误的．因此，在数学教学中，教师应该有意识、有目的地逐步培养学生自主分析与矫正其数学学习错误的意识、方法、能力与习惯．另外，尽管研究强调在数学学习错误矫正过程中，应遵循“自主性原则”，充分发挥学生的主观能动性，但教师启发性讲解依然是分析与矫正学生数学学习错误的一种重要方式．尤其当一个学生群体出现一些普遍的、顽固的数学学习错误时，教师应在深入剖析其出错原因的基础上，综合运用包括启发性讲解在内的多种矫正方式，以进一步提高错误矫正的针对性与有效性．

4.5 适切性原则

应在适宜的时机，采用适当的方式，运用适度的频率对学生的数学学习错误进行分析与矫正．

矫正时机适宜．即对学生数学学习错误的矫正时机选择要适宜．如果教师对学生的数学学习错误关注不够，矫正不足，学生自己也没有进行相应的自我矫正，当那些错误认识已经在学生的头脑里扎根、发芽，甚至茁壮成长起来．这时教师再要进行矫正就要花费更大的精力，付出更大的代价，因为人的认识和观念的改变是比较困难的，尤其当这种错误认识在其头脑里成为一种比较稳定的存在的时候．另外，数学知识具有很强的连贯性、系统性与整体性，学生在前面数学学习中出现的错误认识，如果没有得到及时的矫正，日积月累，必然会严重影响与阻碍其后续的数学学习．因此，对数学学习错误的矫正应及时，应尽可能把它们“消灭”在萌芽状态中，或者在学生还未形成稳定的错误认识的时候，就以适当方式对其予以清除．

矫正方法适当．学生的数学学习错误是其错误数学认识的外在表现．要想数学学习错误的分析和矫正产生真正的教学效果，教师应该运用适当方式，恰当揭示学生错误的数学认识，并有针对性地设计相应矫正材料与矫正过程，以期学生真正理解自己的数学学习错误，并能内化相应的正确数学认识．

矫正强度适合．应该根据学生数学学习错误的性质、程度等确定适当的矫正强度．有些数学学习错误既不稳定，也不严重，更不普遍，只是表明少数学生对某些数学知识有一些轻微的误解．随着数学教学的逐步深入，或学生数学认知水平的逐步提升，这些数学学习错误常常会自动减弱，甚至完全消失．中小学数学教师在矫正学生数学学习错误的过程中没有必要过度关注此类错误．有些数学学习错误具有一定的普遍性与根本性，表明有较多的学生对相应数学知识产生了比较普遍的严重的错误认识．对于这样的数学学习错误，教师当然要“严阵以待”，争取尽快地、尽可能地彻底干净地予以“消灭”等．

4.6 启发性原则

启发性原则是数学教学中需要“一以贯之”的一条基本原则，在数学学习错误的分析与矫正过程中，尤其要重视对学生进行适当的启发与引导．

启发学生找“错”．可以提出问题：请同学们仔细检查自己的解法有没有什么错误？或给出适当提示：你的解法（或想法）有一定错误，你能找到错在哪里吗？或“通过反例或启发等途径暴露矛盾,引发当事者自我反省”[21]．所有这些措施的基本目的在于：启发和引导学生进行数学思考，逐步激发其“认知冲突”，不断聚焦思考方向，进一步明确错误所在．

启发学生析“错”．通过适当启发与引导，促使学生意识到其数学学习错误之后，接下来就应该进一步引导学生进行析“错”．学生可以独立地分析自己的数学学习错误，或结成小组，互相探疑问难．错误解法（想法）的主要错误之处在哪里？导致其出错的主要原因是什么？当时是怎么考虑的，为什么会出现这种错误认识？如何改正自己的错误解法（想法）？

启发学生改“错”．在数学教学过程中，分析学生数学学习错误的主要目的之一，就是为了揭示学生数学学习错误背后的“错误认识”，更加有效地矫正其数学学习错误．应该启发引导学生以独立探索，或以小组讨论等方式矫正其数学学习错误．在矫正数学学习错误的过程中，可以继续引导学生考虑以下问题：已有的错误解法（想法）有没有“合理因素”？如何在有效利用错误解法（想法）“合理因素”的基础上改正其错误解法（想法）？有没有其它的改错方式？如何进一步优化与拓展自己的数学认识？等．当学生通过自我探究，以及小组讨论等并不能完全解决其数学学习错误时，教师应该进行适当地启发性讲解．

4.7 过程性原则

学生的数学学习错误是其数学错误认识的一种外在表现，而认知的改变往往是比较困难的，尤其某些顽固的根本性的数学学习错误更是“冥顽不化”[23]．数学学习错误的矫正要注重矫正结果，更要注重矫正过程，以及学生在矫正过程中所形成的积极的矫正感受与体验[19]，“学生有效知识量的增多、相关能力的生成，以及积极情感、价值观的形成都是纠错的目标”[28]．

从分析与矫正学生数学学习错误的一般过程而言，数学学习错误的矫正应该包括：呈现错误、分析错误、矫正错误、巩固拓展、回顾总结、检测评估、补偿跟进等[19]．应该逐步引导学生明确相应数学学习错误的类型、程度，以及致错原因，逐步引导学生分析数学学习错误背后隐含的数学错误认识，逐步引导学生从多个角度探索矫正数学学习错误的有效方式，并对其进行适当优化与拓展．最后还应引导学生对整个数学学习错误矫正过程进行适当回顾与总结，不断积累数学学习错误矫正经验，逐步提高数学学习错误矫正能力等．另外，还要设置相应的巩固性练习，并考虑是否有必要进行补偿性矫正等．教师应该鼓励学生运用专门的“错题本”收集与整理他们的数学学习错误．为了更加深入与全面地了解学生的改错行为与改错过程，为了真正落实学生的改错行为，并使之产生应有的教育价值，教师应对学生运用“错题本”的情况进行相应的跟踪研究与督促检查[7]．通常的数学课堂讲授矫正方式，之所以很难达到理想的矫正效果，有一个根本原因就是没有体现出数学学习错误矫正的过程性原则．学生缺乏对其数学学习错误的分析过程，缺乏对矫正方式的探索过程，也缺乏对相应正确认识的理解与内化过程．这样的数学学习错误矫正过程往往难以“切中要害”，尽管所有学生都聆听了教师对正确解法（想法）的讲解，很多学生（可能）依然没有完全明白自己原来的解法（想法）到底错在何处．另外，由于学生缺乏对相应正确数学认识（解法）的理解与内化过程，对学生而言，所谓的正确数学认识（解法）依然是外在的，不稳定与不清晰的，并没有完全地真正内化在其已有数学认知结构当中．

就分析与矫正学生某一个（类）数学学习错误的具体过程而言，教师应该让学生自然地暴露出其数学学习错误[26]，并引导其主动反思、自我纠错．通常情况，教师对学生的学习错误都有一定预见能力，但在教学过程中没有必要处处设防，时时预警．这样既打乱了学生思维的自然进程，也不利于其发挥学习的积极性与主动性．学生在数学学习中产生错误,说明在其思维过程的某个环节存在一定问题，只有通过这种自我暴露才能将这个环节展现出来，才能找出错误根源，标本兼治地进行纠错[29]．当学生暴露出自己的学习错误之后，教师应尽量避免将之直接指出和予以纠正．而应该给学生提供适当的反思机会，让出错的学生通过自我反思，或与同伴讨论自己去发现与纠正错误[26]．“由于彻底改变学生根本性的错误认识并不是一件容易的事情，学生认识自己的错误，理解自己的错误，修正自己的错误，以及完善和巩固正确的认识等都需要一定的时间，都要经历相应的过程．因此，在矫正学生的数学学习错误的过程中，应该给学生安排一定的时间，促使其积极反思自己的错误认识，消化吸收正确的认识，并根据矫正需要和矫正反馈等，适当进行多次巩固性矫正．”[23]

4.8 多样化原则

学生的数学学习错误是多方面的，导致出错的原因也是复杂的，因而其矫正策略应当是多样的，有时需要将多种矫正策略配合起来，灵活运用[22]．数学学习错误矫正材料的选择，矫正方式的确定，以及矫正视角的切入都应尽可能体现出多样化的特点．

矫正材料多样化．在矫正学生数学学习错误的过程中，运用的矫正材料应多样化．既有典型的数学学习错误素材，也有当堂使用的练习性材料，还有课后完成的巩固性作业、检测性材料等．

矫正方式多样化．应该根据矫正需要等适当确定多样化的矫正方式．比如，对于个别性数学学习错误，宜用个别化矫正方式，而对于普遍性数学学习错误，可用课堂集体矫正的方式．不管采用哪种矫正方式，都可以学生自主矫正为主，也可以教师启发性讲解为主．另外，还可以在教师的指导下，通过小组讨论的方式，以小组为单位，共同探索与分析本组成员所面对的一些数学学习错误．小组合作矫正数学学习错误的突出优点是：可以集中整个小组的数学智慧，实现优势互补，互相激励、互相启发、互相促进、互相补充．这既有利于学生对数学学习错误的理解、分析与解决，也有利于其矫正经验的传递、共享与提升，还有利于学生合作能力、交流能力与表达能力的培养．洪幸良在其研究中提出了纠正学生数学学习错误的6种基本方式，并指出了每一种“纠错方式”的适用范围、适用的错误类型，及其方法特点，值得中小学数学教师在数学纠错教学中借鉴[16]．

分析视角和分析手段多样化．对学生数学学习错误的分析视角与分析手段，应该是全方位与多元化的．可以从正（反）面进行分析，可以考虑极端情形或特殊情形，还可以综合运用多种数学手段进行分析，比如进行逻辑分析，或者运用图形表示，等等．不同学生的认知方式、能力倾向，以及数学知识基础等都有一定差异．教师在分析和矫正学生数学学习错误的过程中，提供多种矫正材料，运用多种矫正方式，基于多个矫正视角，就可以为每个学生多开一扇窗，多指一条路．

4.9 交流性原则

不论是个别矫正还是课堂集体矫正，都应注重矫正过程中师生、生生之间的互动与交流．尤其在课堂集体矫正过程中，要积极引导学生，在独立思考的基础上，大家一起交流对某些数学学习错误的认识．比如可以引导大家一起分析某些数学学习错误的错误之处，出错原因，背后所隐含的错误认识，以及如何进行矫正，等等．在某个（些）数学学习错误的分析与矫正结束之后，还可以引导学生总结与交流各自的矫正经验．比如，通过回顾与反思整个矫正过程，可以说说各自都有哪些主要收获．通过师生、生生之间的“深度”互动与交流，有助于进一步澄清一些学生的错误认识，也可以进一步强化或拓展一些学生的正确理解．

从学生个体的角度而言，其对整个数学学习错误矫正过程的回顾与反思，是对其数学认知过程或数学认知改变过程的一种自我反思，从而也就具有了元认知的性质，也可以在一定程度上提高其数学元认知能力．从学生群体的角度而言，师生、生生之间“深度”的互动与交流，既有利于传递、共享与拓展学生的数学学习错误矫正经验；也有利于培养学生的数学交流能力与表达能力等．另外，通过师生、生生之间的“深度”互动与交流，还有利于培育学生对数学学习错误进行矫正的意识，并对其建立比较正面而积极的情感、态度与价值观．因为通过师生、生生之间的“深度”互动与交流，大家会“欣喜”地发现数学学习错误并不是少数学生的“专利”，而是一种具有一定普遍性的数学学习现象．数学学习错误并非不可理喻、可恶之极，而是可以理解的、可用的，也是可以改变的．通过学生独立探究，或互相讨论，以及教师的启发引导等可以逐步清除其数学错误认识．

4.10 巩固性原则

数学学习错误矫正的根本目的在于逐步改变学生的错误数学认识，并促使其逐步形成比较稳定和完善的数学认知结构．因此，在学生初步认识到自己的数学学习错误，基本明确如何改正自己的数学学习错误，并确实改正其数学学习错误之后，还应该设置适量的巩固性练习．所有的巩固性练习都应该基于矫正需要、数量适当、难度适中、体现变式、适度拓展．在这些巩固性练习当中，既要有学生当堂完成的即时性巩固练习，也要有课后完成的延后性巩固练习．巩固性练习一方面可以加强学生对相应数学知识的理解与运用能力．另一方面，也具有检测与评价相应数学学习错误矫正效果的基本功能．另外，根据矫正需要，矫正巩固既可一次完成，也可分多次进行，矫正巩固方式也应灵活多样[19]．

4.11 优化性原则

矫正学生的数学学习错误，并非仅仅改错那么简单，关键是引导学生澄清其错误的数学认识，形成比较稳定与完善的数学认识，在此基础上适当优化和拓展其数学认识，培养其对数学学习的积极情感、态度与认识等．

优化数学学习错误矫正方法．在矫正数学学习错误的过程中，应积极引导学生从多个角度，运用多种方式分析错误，改正错误，适当进行正误对比，逐步加深学生对正确解法（想法）的理解，并通过对不同解法（想法）之间的分析与对比，进一步揭示它们之间的区别与联系，并对其进行适当优化与拓展．

优化数学学习错误矫正经验．在数学学习错误矫正过程中，通过自我反思、师生交流，生生交流可以传递、共享、优化与拓展学生数学错误矫正经验，提升其错误矫正能力．

“培育”对数学学习错误更为正面而积极的情感、态度与认识．学生“深度卷入”数学学习错误矫正的完整过程，通过科学、合理与有效的数学学习错误矫正活动，所收获的不仅仅是数学知识，提升的也不仅仅是数学能力，也能在一定程度上促使学生对数学学习错误，及其数学学习错误矫正建立更为客观、全面、深入与辩证的认识，进而促进其对数学学习错误形成更为积极的情感、态度与价值观．

4.12 评价性原则

运用适当方式，对数学学习错误矫正过程和矫正效果进行科学的分析与评价，可以进一步明确矫正成效，也可以了解可能的矫正不足，为“确定”是否有必要进行补偿性矫正提供最基本、最直接的依据．在数学学习错误矫正过程中，教师通过对矫正活动的适当观察与分析，可以对矫正效果进行一定的即时性评价，并以此为据，对矫正活动与矫正过程进行一定调整与改变．在数学学习错误矫正活动初步完成之后，主要可以通过以下方式，对其进行更为深入与完整的分析与评价．

通过教师自我回顾进行矫正评价．教师可以通过对矫正材料和矫正过程的全面回顾与深入分析，对整个矫正过程和矫正效果做出一个初步的整体性评价．

通过学生问卷和访谈进行矫正评价．对数学学习错误的矫正结束之后，可以通过预先设计的学生问卷，或以访谈方式，从学生视角进一步收集与分析有关矫正过程和矫正效果的基本数据．这种矫正评价方式的主要特点是：可以比较深入地了解一些有关矫正过程的细节信息，易于量化，相对客观等．

通过专门设计的数学测试卷或数学作业进行矫正评价．进行一定的数学学习错误矫正之后，学生的数学学习错误，及其错误认识究竟有没有改变，在多大程度上发生了改变，学生的数学表现究竟如何，还在哪些方面存在不足，等等．这些问题都可以通过专门设计的数学测试卷，或数学作业进行进一步的分析与评价．通过学生完成数学测试卷（作业）的种种“具体表现”，又可以从另一个角度提供有关矫正效果的实际“证据”．综合分析以上3种评价数据，可以比较全面、深入地掌握有关数学学习错误矫正过程和矫正效果的多种信息，可以对整个矫正过程和矫正效果做出比较科学而合理的评价．

4.13 补偿性原则

如果通过一次数学学习错误矫正活动并不能完全改变学生的错误数学认识，就需要适当设置相应的补偿性矫正．学生数学学习错误的各种具体外在表现，及其背后的深层错误认识是异常复杂的．因此，对学生数学学习错误的矫正往往是困难的，一次矫正未必完全奏效，尤其对某些具有一定普遍性和顽固性的数学学习错误而言更是如此．要根据数学学习错误矫正评价结果，同时结合数学教学需要等，确定是否有必要进行补偿性矫正．补偿性矫正可以只进行一次，也可以分多次进行，每次进行补偿性矫正之后，都要以适当方式进行相应矫正评估，以确定补偿性矫正的效果及其可能存在的问题，进一步确定是否需要进行后续矫正等[19]．

5 结语

研究强调的是：中小学数学教师在分析与矫正学生数学学习错误时，应该“淡化形式，注重实质”[30]，判断是否为数学学习错误应该以其是否违背数学知识的客观规律为主要标准．在矫正过程中应该抓住学生主要的数学学习错误，及其数学学习错误的主要方面，并充分调动与发挥中小学生错误矫正的积极性与主动性．矫正学生的数学学习错误，尤其那些具有一定根本性与普遍性的数学学习错误，往往并不能一蹴而就，需要适当进行补偿性矫正，有时甚至需要“积极前进，循环上升”[31]，在前进过程中逐步解决学生在数学学习中暴露出的各种问题等．

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Reflecting and Reconstructing Principles of Correcting Learning Errors in Mathematics

MA Wen-jie

(School of Electronics and Information Engineering, Taizhou University, Zhejiang Taizhou 317000, China)

In order to comprehensively and profoundly reflect the inherent characteristics of students’ errors in mathematics learning, the whole process, main links and main contents of correcting mathematics learning errors. Based on related researches, individual construction theory, social interaction theory and Xi Jinping’s “four guiders” theory, and so on. From more extensive perspectives, the 13 principles of correcting errors in mathematics learning are reconstructed. That is: rationality principle, usability principle, authenticity principle, autonomy principle, appropriateness principle, heuristic principle, process principle, diversification principle, communication principle, consolidation principle, optimization principle, evaluation principle and compensation principle. Which can directly guide correcting activities of mathematics learning errors in primary and secondary schools, and enrich and perfect theories of error correction in mathematics learning to a certain extent.

mathematical learning error; principles of error correction in mathematics learning; reflecting; reconstructing

G40–03

A

1004–9894（2020）02–0011–07

2019–10–11

2017年度浙江省高等学校访问学者教师专业发展项目——数学教育研究的一般过程与方法（FX2017066）；2019年度台州市教育规划课题——基于“学习共同体”促进中小学数学教师专业成长的“研学模式”研究（gg19006）

马文杰（1978—），男，甘肃天水人，副教授，博士，主要从事数学课程与教学论研究．

马文杰．反思与“重构”数学学习错误矫正原则[J]．数学教育学报，2020，29（2）：1117．

[责任编校：陈隽、陈汉君]