张文兵

摘  要：矩阵是线性代数的核心内容之一，是线性代数后续学习的基础。同时矩阵在工程上也有着重要应用。在矩阵教学中，矩阵的四则运算是第一个有关矩阵运算的知识，而矩阵四则运算中，又数矩阵乘法最为抽象。本文首先从几个简单例子出发来阐述矩阵乘法满足交换律的必要条件。随后通过几个关于正定矩阵乘积的例题来说明矩阵乘法交换律的重要应用，从而加深初学者对于矩阵乘法交换律的理解。

关键词：矩阵  乘法交换律  线性代数  正定矩阵。

中图分类号：O151                             文献标识码：A                 文章编号：1674-098X（2020）09（b）-0164-03

Abstract： Matrix is one of the core contents of linear algebra and the foundation of the subsequent study of linear algebra. At the same time， matrix also has important applications in engineering. In the matrix teaching， the four operations of the matrix are the first knowledge about the matrix operation， and in the four operations of the matrix， the multiplication of the number matrix is the most abstract. First， some simple examples are given to show the necessary condition of matrix multiplication. Then， we present some examples on positive matrix to show that the matrix multiplication is very important and has widely applications， so as to deepen the beginners understanding of commutative law of matrix multiplication.

Key Words： Matrix; Multiplication commutation law; Linear algebra; Positive definite matrix

在线性代数中，矩阵是最重要同时也是最基础的一块内容，学好矩阵关系到能否学好线性代数这门课程。矩阵贯彻于整个线性代数的学习中。矩阵是线性方程组求解、行列式计算以及二次型等重要知识的基础[1-3]。同时矩阵在很多实际工程系统当中也有着重要的应用。矩阵的四则运算是矩阵中最基本的内容，因此，学好矩阵的四则运算就非常重要。而矩阵的四则运算中，乘法运算最为抽象。本文通过分析几类关于矩阵乘法的易错题型。从而让学生对矩阵的乘法运算有更加深刻的认识，为后续学习打好坚实的基础。

定义1[4]：矩阵乘法：设矩阵，矩阵的乘积定义为：

注1：在矩阵乘法运算当中，第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行是两个矩阵可以做乘法运算的基本条件。因此在以后的学习中当提到矩阵乘法时都默认这个条件成立。

1  主要结果

首先，回顾一下矩阵乘法的一些基本性质。

性质1[4]：A、B、C为合适维数的矩阵，k为常数，则下列性质成立：

因此，矩阵的乘法运算满足结合律和分配律。现在验证矩阵的乘法是否满足交换律。

注2：从上述三例很容易知道矩阵的乘法满足交换律的一个重要前提是两个矩阵是同阶方阵。这很容易理解，然而在实际运算中，很多初学者很容易忽略矩阵乘法交换律在某些关于矩阵多项式运算中的作用。究其原因主要是大部分初学者关于多项式的乘法的一些性质已经熟记于心，很容易想当然地以为矩阵乘法也满足相应性质。接下来，笔者将通过几个重要的例子来说明矩阵乘法交换律的重要性。

分析：造成上述错误的主要原因就是想当然地认为矩阵的乘法和多项式乘法一样满足交换律，然而在矩阵乘法当中，即使两个矩阵是同阶方阵也不一定满足乘法交换律。由A、B的定义可以很容易得到，

例5：设A、B为同阶正定矩阵，则也為正定矩阵。试说明上述结论是否成立？

错解：结论成立，理由如下：

证明：由A、B都是正定矩阵，那么很显然的特征值都大于0，从而的所有特征值也大于0，那么 正定。

分析：上述证明看似正确，然而忽略了一个很重要的事实就是一个矩阵是正定矩阵的前提条件是这个矩阵必须是对称的。比如令

显然A、B都是正定矩阵。然而，通过计算可知：

通过计算可知的两个特征值为0.3348和0.7452都大于0，然而由于不是对称矩阵，所以不是正定矩阵。因此，将上述命题修改为设A、B为同阶正定矩阵，且，则也为正定矩阵。结论成立。

设对称矩阵表示为正定（半正定）矩阵，试判断下面结论是否成立。

由上述几例可以看出，矩阵的乘法运算不同于多项式的乘法，很多多项式乘法中的性质在矩阵乘法中都不成立，而其中起着关键作用的就是矩阵的乘法是否满足交换律。因此，在以后的学习中当涉及到矩阵乘法运算时，一定要认真检查是否满足交换律，不能想当然地给出结论，否则很容易得出错误的结果。

2  结语

本文从几个初学者容易算错的例子出发，详细分析了矩阵乘法满足交换律的前提条件，随后分析了矩阵乘法交换律在矩阵不等式中的重要应用。从而加深读者对矩阵乘法交换律所满足的条件的认识。

参考文献

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