李 杨，郭 磊，葛靖宇，程建华

(1. 海军研究院，北京 100161；2. 哈尔滨工程大学自动化学院，哈尔滨 150001)

0 引言

由于传统微机电(Micro-Electro-Mechanical System，MEMS)捷联惯导系统多采用三轴正交配置结构，若一个轴上的器件发生故障将导致该轴量测信息丢失，致使捷联惯导系统无法完成导航任务[1]。提高捷联惯导系统可靠性的方式有以下三种：一是系统级冗余方式；二是改进器件内部结构；三是器件级冗余方式。综合考虑提高可靠性方法的难度、研发时间和成本等因素，目前广泛采用器件级冗余技术来提高系统的可靠性[2-3]。

在冗余式MEMS捷联惯导系统中，MEMS-IMU的确定性误差是影响系统导航精度的重要因素之一，因此开展冗余MEMS-IMU标定技术研究对提高惯导系统导航精度与可靠性具有重要意义[4]。三轴转台角速率误差约为10-3(°)/s，而MEMS陀螺精度约为10-2(°)/s，MEMS陀螺误差远大于三轴转台角速率误差[5]。因此，以三轴转台为测试平台的标定方法可以实现MEMS陀螺各误差系数的精确辨识。目前，对三轴正交配置的惯性器件标定技术研究已经较为完善[6]，Pethel等提出了一种快速六位置标定方法，可同时实现三轴正交配置陀螺仪3个误差参数的分离与辨识[7]。肖龙旭等针对标定试验需要进行调平而导致标定时长增加的问题，研究了陀螺仪免调平的静态位置标定方法[8]。随后，蔚国强等提出了一种在无定向条件下实现陀螺仪误差系数快速标定的技术，改善了标定方案，实现了全温度范围内的快速标定[9]。

然而，随着惯性器件冗余数目的增加以及惯性器件空间结构配置的复杂化，对惯性器件的误差参数进行分离的难度也随之增大。华冰等针对冗余惯性器件，提出了六位置静态标定方法，该方法以地球自转角速度以及重力加速度作为标准输入，对光纤陀螺等高精度惯性器件的标定具有一定的参考价值，但并不适用于MEMS惯性器件的标定与补偿[10]。黄薇等针对六传感器正十二面体结构进行分析，提出的方法仅实现了MEMS陀螺的常值误差以及安装误差的标定，并没有完成刻度因数误差的标定，同时建立的模型仅适用于六传感器正十二面体结构[11]。随后，为实现标定步骤的简化和标定时长的缩减，梁海波等采用Kalman滤波方法实现参数估计，为提高各误差参数的可观测性，对转台输出进行了零状态扩增，但该方法求解繁琐、建模复杂[12]。

因此，本文在捷联惯性导航系统器件级冗余的基础上，为满足器件误差参数辨识的快速性与标定精度要求，提出了基于Kalman滤波的冗余MEMS惯性器件标定方案。通过建立冗余MEMS惯性器件误差模型，设计标定算法，实现了惯性器件常值误差、刻度因数误差和安装误差的快速辨识与补偿，从而达到提高捷联惯导系统可靠性和导航精度的目的。

1 冗余MEMS-IMU误差模型建立

采用小角度旋转向量法将每个陀螺的安装误差表示为在陀螺坐标系两轴的旋转向量。通过陀螺坐标系与载体坐标系的转换关系即可得安装误差模型，与安装误差直接表示为航向角误差和俯仰角误差相比，该方法建模结果更加精确。

安装误差的小角度旋转向量建模法示意图如图1所示，具体推导过程如下所示。

图1 小角度旋转向量误差建模示意图Fig.1 Schematic diagram of small angle rotation vector error modeling

(1)

式中，ji和ki分别为陀螺自转轴和输出轴在转台坐标系的设计指向，pi、ji和ki为两两正交的向量，σji和σki为安装误差对应的小角度。

由于MEMS器件精度较低，在误差建模的过程中可以忽略三轴转台自身误差。假设三轴转台的实际角速率为ωz，经过配置矩阵转换后的器件输入角速率为ωmi，如式(2)所示

(2)

综上可推导得带安装误差的n个器件输出表达式如式(3)所示

(3)

将式(3)写成矩阵的形式得

ωc=PTωz+Rkσj-Rjσk

(4)

式中，Rj=diag(k1k2…kn)ωz，Rk=diag(j1

…jn)ωz，PT为理想配置矩阵，ki和ji分别为第i个器件输出轴与自转轴在载体坐标系的指向。

刻度因数误差K和常值误差B与4.2节定义相同，则n个器件实际输出表示为

ωm=(I-K)ωc-B-η

(5)

式中，η=[η1η2…ηn]T，B=[b1b2

…bn]T，刻度因数误差K=diag(k1k2…

kn)，η为服从正态分布的高斯白噪声。

将安装误差对应的量测值代入式(5)得

ωm=(I-K)(PTωz+Rkσj-Rjσk)-B-η

(6)

将式(6)展开，由于惯性测量单元各误差系数量级均比较小，忽略二阶小量，器件的标定误差模型整理得

ωm=PTωz+Rkσj-Rjσk-KPTωz-B-η

(7)

2 以输出误差为观测量的Kalman滤波器设计

本节将在第1节推导的误差标定模型的基础上，以器件输出误差为观测量设计Kalman滤波器，从而实现器件各误差系数的快速精确标定。

2.1 状态方程设计

以常值误差B、刻度因数误差K和安装误差σj、σk作为Kalman滤波器的状态量，在标定中上述误差系数均为常数。忽略随机噪声的影响，状态方程如式(8)所示

(8)

在采样周期为T时的离散化状态方程为

Xk=HkXk-1

(9)

将式(9)中的连续状态转移矩阵离散化得

(10)

状态方程如式(11)所示

(11)

2.2 量测方程设计

文献[12]指出以三轴角速率输出值直接作为观测量将导致部分状态量不可观，影响标定精度。因此提出了零空间状态扩增法，改善各状态量的观测性，但该方法计算较繁琐。本节提出了以器件的输出误差值作为观测量，保障各MEMS器件状态量的可观测性，减少计算量。

n个器件的量测方程如式(12)所示

Zk=Δωm=ωm-PTωz=Rkσj-Rjσk-

KPTωz-B-η

(12)

将上述量测方程写成矩阵的形式

(13)

3 转台转位编排设计

基于Kalman滤波的标定方案不同于传统多位置多速率标定法，转台转位方式的设计不仅需要满足误差参数准确激励，还需要保障Kalman滤波过程中不能有奇异值的出现。文献[13]到文献[15]分析了转台编排方式与滤波效果的关系，将正弦角速率变化方式推广到均匀角速率变化方式，本节将基于上述理论设计转位方案如图2所示。

图2 转台转位设计Fig.2 Turntable transposition design

首先转台静止一段时间，x轴匀速率旋转75s，然后y轴匀速率旋转75s，z轴匀速率旋转75s，最后静止一段时间，总标定时间为360s。

4 标定仿真试验与分析

4.1 标定试验对象与仿真条件

以冗余数目为4的惯性测量单元为研究对象进行冗余MEMS-IMU标定方案的仿真验证与分析，配置方案如图3所示。

图3 四面体配置结构Fig.3 Tetrahedral configuration

图3所示为四陀螺冗余配置方案，器件2、器件3和器件4的测量轴和ozb轴的夹角为α=70.53°，其中器件2的测量轴与xbozb平面重合，器件3和器件4的测量轴在xboyb平面的投影与oxb轴的夹角分别为β3=120°和β4=240°，陀螺仪1安放在xboyb平面内，测量轴与ozb轴负半轴重合。

该惯导系统的冗余配置矩阵为

(14)

仿真条件：假设当地地理纬度为北纬45°，转台旋转角速率为20(°)/s，输出频率为100Hz，MEMS-IMU误差参数设定如表1所示。

表1 MEMS陀螺标定仿真系数Tab.1 Calibration simulation coefficient of MEMS gyroscope

基于Kalman滤波的标定方案仿真时长6min，量测噪声均值为0，量测噪声标准差为10-3(°)/h，该冗余配置方案下J阵和K阵如式(15)和式(16)所示

J=[j1j2j3j4]

(15)

K=[k1k2k3k4]

(16)

Kalman滤波仿真参数设置如下：均方误差阵P=diag(I16×16)2；量测噪声方差阵R=10-3diag(I4×4)。

4.2 仿真结果

各MEMS陀螺的常值误差、刻度因数误差和安装误差标定结果如图4～图7所示。

图4 陀螺1误差系数标定图Fig.4 Error coefficients calibration results of gyro 1

图5 陀螺2误差系数标定图Fig.5 Error coefficients calibration chart of gyro 2

图6 陀螺3误差系数标定图Fig.6 Error coefficients calibration chart of gyro 3

图7 陀螺4误差系数标定图Fig.7 Error coefficients calibration chart of gyro 4

由图4～图7可知，红线表示设定参数值，蓝线表示参数估计曲线，1、2、3、4号陀螺的各误差系数均在250s以后收敛至设定值，在标定试验结束前均可实现各陀螺误差系数的辨识。

冗余陀螺各误差系数的估计误差值见表2，陀螺常值误差系数的估计误差小于0.0025(°)/s，2个安装误差系数的平均估计误差均小于0.0025°，刻度因数误差系数的估计误差值小于1.5×10-5，说明该标定方案具有较高的标定精度。

表2 各系数标定误差值Tab.2 Calibration error value of each coefficients

根据平均相对误差评价指标，基于Kalman滤波的标定方案标定结果的平均相对误差值见表3。

表3 MEMS陀螺仪标定评价指标Tab.3 Calibration evaluation index of MEMS gyroscope

六位置标定方案的标定评价指标如表4所示[11]。

表4 MEMS陀螺仪标定评价指标Tab.4 Calibration evaluation index of MEMS gyroscope

由表3可知，该标定方案中各误差系数标定的平均相对误差均小于0.9%，MEMS测量单元误差系数的标定结果具有较高的标定精度。

由表3和表4可知，基于Kalman滤波的冗余标定方案与六位置标定方案相比，冗余MEMS器件的标定精度平均提高了11.37%，标定步骤得到简化，同时标定时间大大缩短。

5 结论

本文基于导航设备小型化、高可靠性和高精度发展的需求，以捷联惯导系统为研究背景，开展冗余MEMS-IMU标定技术研究，提出了一种基于Kalman滤波的冗余惯性器件误差参数标定方法，解决了随器件冗余数目增加和冗余配置结构复杂化带来各惯性器件误差系数分离难的问题。仿真试验表明：该方法可实现冗余MEMS器件误差参数的快速精确标定，同时具有操作简单、易实现的优点。此次试验忽略了MEMS陀螺随机误差的影响，后续将开展MEMS陀螺随机误差补偿与标定技术综合研究。