张硕

[摘  要] 圆锥曲线的切线问题，在高考中是一大亮点，一些文献中均有不同方面的探究. 文章主要探究一类形似切线方程，同时借助数学实验探讨该类直线与圆锥曲线的位置关系，根据定点选择的不同，进一步论证了该类切线与圆锥曲线的交点个数，探讨了该知识点的具体几何意义.

[关键词] 圆锥曲线;椭圆;双曲线;抛物线;切线;位置关系

高考中常遇到一些形似于圆锥曲线切线方程的直线问题，这些直线看似切线形式，但由于定点的选择不同，这些直线也将会有自己的实际意义.笔者发现2019年全国Ⅲ卷，2014年广东卷，2013年安徽卷、山东卷、广东卷等均对该知识点做了不同层面的考查和应用.

引理：设P（x■，y■）为圆锥曲线Ax2+By2+Cx+Dy+F=0上一点，则该圆锥曲线过点P的切线方程为：Ax■x+By■y+C■+D■+F=0.

简析：引理的常用证明有，方法1：判别式法，直线代入圆锥曲线;方法2：高等数学方法，隐函数求导，此处详细证明略，主要领会圆锥曲线的一般切线形式和方程思想即可.本文中把形如引理中切线方程的直线，称之为“类切线”.

■提出问题

探究如下问题：已知椭圆方程■+y2=1，定点P■（x■，y■），直线方程为■+yy■=1.

（1）当■+y■=1，则直线■+yy■=1与椭圆■+y2=1的交点个数______.

（2）当■+y■>1，则直线■+yy■=1与椭圆■+y2=1的交点个数______.

（3）当0<■+y■<1，则直线■+yy■=1与椭圆■+y2=1的交点个数______.

■实验探究

借助数学软件几何画板对不同的数学实验进行探究，即取不同的点P■（x■，y■）使其分别满足上式的条件，通过实验发现（1）式直线即为该椭圆的切线，与椭圆交点个数为一个;（2）式直线与该椭圆相交，交点个数为两个;（3）式直线与该椭圆相离，交点个数为零个……