滕旭

[摘  要] 四面体体积计算是研究四面体的基本问题，文章基于分割法推导出了四面体的一个新的体积公式，并由推出的体积公式推导出了传统体积公式及三面角的特征值.

[关键词] 四面体;分割法;体积公式

■四面体中的元素及其表示

四面体为空间图形（如图1所示），因此其元素的形式比三角形的元素复杂得多，研究四面体的体积须明确其元素及表示.

1. 角

四面体中的角包括空间角和平面角，空间角包括三面角、二面角及棱面角三种，平面角指的是每个面（三角形）的内角，只有一种.

（1）三面角

四面体中的一个顶点及由该顶点出发的三条棱构成其一个三面角，四面体中共四个三面角，记作：A-BCD，B-ACD等.

（2）二面角

四面体中的一条棱及由该棱出发的两个面构成其一个二面角，四面体中共四个二面角，记作：A-BC-D，B-AC-D等.

（3）棱面角

四面体中的一条棱及与该棱相交的面构成棱面角，四面体中共八个棱面角，记作：AB-ACD，AB-BCD等.

（4）平面角

四面体中的面（三角形）的内角称为四面体的平面角，四面体共十二个平面角，记作：∠ABC，∠ACD等.

2. 棱

四面体中共十二条棱记作：AB，AC等.

3. 面

四面体中四个面记作：△ABC，△ABD等.

■分割法

1. 分割法求四面体体积的一般方法[1-5]

文献[1-5]在推导四面体的体积时均采用将四面体从平行六面体中分割出来进行计算，而计算平行六面体的体积则采用向量的混合积.

2. 分割法求四面体体积的新的方法

（1）已知二面角棱长及两个面的面积求体积

在四面体ABCD中，已知二面角A-BC-D，棱BC及两个面△ABC，△BCD的面积……