王艳

【摘要】当下的数学课堂教学改革必须将数学课堂教学评价指向数学核心素养.构建与数学核心素养目标连贯一致的数学课堂教学评价，无论在理论层面，还是在实践层面都很有必要.本文主要介绍了根据两道中考题设计的一节专题复习课“探究反比例函数中与k有关的面积问题”的教学实录以及课后反思.

【关键词】核心素养;教学评价;案例分析

一、选题背景

历年的数学中考试题中，除了考查学生对基础知识和基本技能的理解和掌握情况，还注重考查学生的数学分析、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识等数学核心素养.近几年的中考题都考查了反比例函数中与k有关的面积和、面积差，究其本质就是考查学生对反比例函数图像的本质理解，考查学生的数学建模能力、数学抽象能力和知识迁移能力.这类题目对学生来说难度较大，得分率低.如果学生能够发现此类问题的本质就是k的几何意义，那么问题就会迎刃而解.因此，我们有必要设计一节专题复习课，探究反比例函数中与k有关的面积问题.

二、教学实录

1.问题引入，温故旧知

上课伊始，教师直接引入本节课的课题：反比例函数中与k有关的面积问题（板书）.

问题1：反比例函数y=kx在第一象限的双曲线图像如图1所示，你能得出什么结论？

生：k>0.

问题2：若k=4，在图像上任取一点A并向x轴、y轴作垂线段，你能得到什么结论？

生：所围成的矩形面积为4.

师：再取一点B呢？

生：面积同样为4.

师：反比例函数上任意一点向x轴、y轴作垂线段，所形成的矩形的面积都为k.

【评析】每个学生都不一样，所以，教师在教学中应给每个学生都留下能够发挥自己能力的空间，让他们加入知识的探索中来.本课从最简单的反比例函数入手，复习反比例函数图像的基本性质及k的几何意义.

2.图形变换，探究新知

变式1：如图2，两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图像分别是C1、C2，设点P在C1上.PA⊥y轴于点A，交C2于点Q.PB⊥x轴于点B，QD⊥x轴于点D.求四边形QDBP的面积.

生：面积为2.因为点P在C1上，所以SOAPB=4，点Q在C2上，所以SOAQD=2，则SQDBP=SOAPB-SOAQD=2.

变式2：如图3，如果图像在第二象限呢？

生：面积为2.（过程说明略）

变式3：如图4所示是反比例函数y=2x和y=-4x在第一、二象限内的图像，P、Q是图像上的两个点，PQ∥x轴，PA⊥x轴于点A，QB⊥x轴于点B，求四边形PABQ的面积.

生：面积为6.（过程说明略）

变式4：如图5，如果在二、三象限呢？

生：面积为6.（过程说明略）

【评析】通过解决简单的变式问题，探究图像中蕴含的规律，从几个具体的图形中发现一般规律，培养学生的归纳、推理能力.

问题3：从四个图形的变化中，你能得到什么结论？

生：如果两个反比例函数的图像在同一个象限，矩形QDBP的面积为|k1|-|k2|，如果两个反比例函数的图像在不同的象限，那么面积就变成了|k1|+|k2|.

3.应用新知，探究本质

例1 如图6所示，点A、点B分别是反比例函数y=k1x和y=k2x在第三象限内图像上的两点，AB∥x轴，AB=2，点A（a，-3），则k2-k1=.

生：如图7，由图可知k2>k1>0，k2-k1就是两个矩形的面积差，等于6.

变式1：（2016·滨州）如图8，已知点A、C在反比例函数y=ax的图像上，点B、D在反比例函数y=bx的图像上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB=34，CD=32，AB与CD间的距离为6，则a-b的值是.

生：如图9，SABFE=SCDNM，设DN=x，则BF=6-x，由34（6-x）=32x，解得x=2，所以面积为2×32=3，a-b=3.

变式2：（2015·宁波）如图10，已知点A、C在反比例函数y=a[]x（a>0）的图像上，点B、D在反比例函数y=b[]x（b<0）的图像上，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a-b的值是.

师：在应用结论的过程中，你有什么新的发现？

生：可以把绝对值去掉，不管是面积和还是面积差，都可以用k1-k2来表示，条件是k1>k2.

【评析】例1意在给后面的两个变式练习做铺垫，给学生的思维搭个梯子，使他们意识到原来中考的压轴题也可以这么简单.两道例题都是求a-b的值，与前面学生总结的结论产生冲突，学生在思维冲突的过程中产生顿悟，他们对面积和和面积差就会有新的认识，从而认识到k1-k2的本质.学生在思考问题的过程中，数学建模、数学抽象的能力得到提升.

三、课堂总结，知识升华

师：總结一下今天我们学到了什么知识？这些知识包含哪些数学思想和数学方法？

生：当两个反比例函数的图像在同一个象限或在不同的象限时，所形成的矩形面积和与面积差都可以用k1-k2来表示.

生：解决反比例函数的问题用到了数形结合的思想，还用到了转化的思想.

四、关于数学课堂教学评价的思考

1.以学生数学素养和能力再提高为目的

数学课堂教学评价不仅需要关注教师的教学内容、教学方法、教学重点、教学手段、教学目的等，也要关注学生在学习过程中的表现.教师要鼓励学生遇到问题时多独立思考，尝试通过自己的努力来解决问题，让他们能够对自身的自学能力、独立思考能力进行锻炼，从而有益于他们以后的学习生活.

2.关注点应该有所改变

教学评价的关注点应从教师身上转移到学生身上，对于课堂教学中使用的教学方法的思考应从是否灵活转变到是否适合学生.应该关注学生与教师之间的交流互动，关注学生的学习过程，而不再只是关注解题结果，要对课堂教学是否能够反映出学生学习上的问题进行评判，转变以往的课堂教学评价标准.

3.关注弱势，面向全体

新课标指出，不同的人在数学上应该得到不同的发展.专题复习过程中，教师很容易忽视小部分“后进生”，更多关注成绩优秀的学生，教学时习惯只讲有难度的习题，没有注意到个体的差异，这样不能取得很好的教学效果.因此，教师在教学中更应该关注学习数学有困难的学生，给予他们更多的帮助和鼓励，设计问题时尽量降低起点，搭好阶梯，设计有梯度的数学问题，使他们也能参与到数学活动中来解决问题，由此激发他们的数学学习兴趣和信心;对学有余力的学生，要多为他们设计有难度的探索式问题，帮助他们获得进一步的发展，坚持“抓中间、促两头”，促进每个学生的发展.