(南通大学，南通 226000)

0 引 言

根据燃油压力的变化量与密度变化量成正比的关系可知，当容积为定值的高压油管内燃油的质量改变时，高压油管内的压力就会发生改变，如果保持高压油管内的燃油质量不变，那么高压油管内的压力就会保持稳定的状态，因此根据进出高压油管的燃油质量守恒就能够求解出单向阀每次开启的时长。而当需要在一定的时间内将高压油管内的压力增加到150 MPa时，高压油管内燃油的密度为变值，进入高压油管的质量和喷出高压油管的质量也在时刻改变。所以采用微元法分析每个时刻的质量的变化，然后通过积分的方法计算调整时长内进油质量和喷油质量的累加值。根据调整时长内进油量的累加值与喷油量累加值和高压油管增加的油量之和相等求出单向阀开启的时间。

1 模型的建立与求解

1.1 高压油管稳压时单向阀开启时长的确定

高压油管的示意图如下，其中A点为燃油进入高压油管的入口，B点为喷射器的喷油口。

图1 高压油管示意图

为了使高压油管内的压力稳定在100 MPa，根据质量守恒定律，单位时间的进油量和喷油量应该相等。假设1 s内进入高压油管的燃油质量为MA，喷油器喷出的燃油质量为MB，则根据质量守恒定律建立单位时间长度为1 s时高压油管进油质量和喷油质量相等的模型：

MA=MB

(1)

由于问题一已知喷油嘴每次工作时喷油速率v(mm3/ms)和喷油时间t(ms)的关系以及喷油嘴每秒工作次数k，且已知当压力为100 MPa时燃油的密度，所以可以计算出压力为100 MPa时每秒喷出燃油质量；根据提供的燃油进出高压油管的流量公式，以及压力变化量与密度变化量的关系求解单向阀开启时每1 ms进入油管的燃油质量，从而可知1 s时间内单向阀开启的总时间，进而可得单向阀每次开启的时长，具体的计算过程如下：

(a)喷油质量的计算

喷油嘴在喷油的瞬间可认为燃油的密度等于高压油管内的密度，则根据燃油质量的计算公式可得1 s内的喷油量为：

MB=kρ0VB

(2)

其中,ρ0表示当压力为100 MPa时燃油的密度，即ρ0=0.850 mg/mm3；VB表示喷油嘴每工作一次所喷出的油量容积；k表示1 s内喷油嘴工作次数，即k=10。

根据已知喷油器的喷嘴口从B处喷油的速率v(mm3/ms)与时间t(ms)的关系如下：

图2 喷油速率示意图

根据喷油嘴喷油速率示意图可求出一次工作时间内的喷油体积为：

再根据公式得到1 s内高压油管喷出的燃油质量：

MB=kρ0VB=10×0.85×44=374 mg

即单位时间(1 s)内高压油管喷出的燃油质量为374 mg。

(b)进油流量的计算

已知进出高压油管的流量计算公式为：

(3)

其中,Q表示单位时间流过小孔的燃油量(mm3/ms)，C=0.85为流量系数；A为燃油进入高压油管的小孔横截面积(mm3)；ΔP为进出油两边的压力差；ρA为高压侧燃油的密度(mg/mm3)，则可以得到单向阀开启时每ms进入高压油管的燃油流量为：

(3)

其中，PA=160 MPa为高压油泵提供的压力，P0=100 MPa为高压油管内的初始压力。

为了求解Q，则需计算进油量的横截面积和高压侧燃油的密度，由于进油口处的小孔横截面为圆形，则根据圆的计算面积可得：

(4)

其中，d为小孔的直径，d=1.4 mm。

由于燃油从高压油泵进入高压油管时压力发生了变化，所以高压侧燃油的密度不等于高压油管内的密度，需根据燃料压力差关于密度差的计算公式进行求解，公式如下：

(5)

已知弹性模量和压力之间存在一定的对应关系，可记为E(P)，对附件3的数据进行拟合则可得到任意一个压力对应的弹性模量为E，以压力P为自变量、E(P)为因变量进行拟合。拟合得到E(P)关于P的函数关系式为：

E(P)=1.003 8×10-4P3+1.082 5×10-3P2+

5.474 4P+1.531 9×103

(6)

则对公式(5)进行推导，得到任意压力下燃油的密度ρ，推导过程如下：

(7)

则可得高压侧的燃油密度：

由于附件3给出了当压力为160 MPa时，E=2 786.4 MPa，那么可以直接计算得到高压侧的燃油密度为0.868 7 mg/mm3，则单向阀开启时每ms进油流量Q为：

(c)单向阀开启时长

假设单向阀每次开启的时长为t0(单位为ms)，1 s内开启的总时长为t，则根据每s内流进高压油管内的燃油质量和喷出高压油管的燃油质量相等，可得每1 s内单向阀开启的总时长t为：

由于单向阀每工作一次都需要关闭10 ms，即两次工作之间的间隔时间为10 ms，则可通过单向阀关闭的时长求出1 s内单向阀工作的次数n为：

从而根据总工作时长和工作次数的比值得到每次单向阀开启的时长为：

1.2 单向阀开启时长的调整

通过调整单向阀开启的时长，在分别经过2、5和10 s的时间长度后使得高压油管内的压力从100 MPa增大到150 MPa，并在调整过程后使高压油管的压力稳定在150 MPa。对于容积一定的高压油管，管内燃油质量的增加会导致压力的增大，当高压油管内的压力增大50 MPa时，高压油管中需要增加一定的燃油质量。由于在调整时长内，燃油的密度为变值，进入高压油管的质量和喷出高压油管的质量也时刻在改变。因此采用微元法分析每个时刻的质量的变化，然后通过积分的方法计算调整时长内进油质量和喷油质量的累加值。

(a)调整时间内高压油管内增加的燃油质量

当经过一定的调整时间后，高压油管内的压力稳定在150 MPa，则此时燃油的密度可由压力变化量和密度变化量之间的关系求出，由(7)可得：

其中,P′=150 MPa,ρ′表示燃油在150 MPa压力下的密度，计算可得ρ′=0.853 2 mg/mm3。则高压油管内的压力增大50 MPa时，高压油管中需要增加的燃油质量为：

ΔM=M2-M1=ρ′V-ρ0V

(8)

其中,V表示高压油管的容积，其计算公式为：

(9)

其中,D为高压油管的内直径;L表示高压油管的内腔长度，联立公式(8)和(9)求得ΔM=125.756 mg。

(b)进油质量和喷油质量积分公式的推导。假设在调控时间内某个时刻高压油管内的压力为PB，进油时燃油进入高压油管的质量为dMA,则对任意时刻的进油质量计算公式为：

dMA=QAρAdt

(10)

其中,ρA=0.868 7 mg/mm3;QA表示进油口的流速，根据进出高压油管油量的流量公式(3)可知：

(11)

将公式(11)代入公式(10)可得：

(12)

假设当压力为PB时燃油的密度为ρB，根据公式(5)和公式(6)可得任意时刻压力PB和初始压力的关系：

(13)

其中,E(ρB)表示燃油密度为ρB时的弹性模量，将公式(13)代入(12)则可得：

(14)

对该公式进行积分得到调整时间内进油质量的累加值MA为：

(15)

其中,Pi、ρBi分别表示调整时间内任意时刻i高压油管内的压力和密度；E(PBi表示压力为Pi时的弹性模量。假设任意时刻喷油质量为dMB，同理可得喷油口在调整时间内累加喷出的燃油质量的积分公式推导如下：

根据图1可知喷油口在2.4 ms内的喷油速率与时间的关系为：

(16)

所以可知喷油时喷油速率是关于时间t的分段函数，可记为v(t)，那么：

dMB=v(t)ρBdt

(17)

(c)求解单向阀的开启时长

根据质量守恒定律可知在调整时间内压力增加50 MPa时，进油的质量需满足出油质量和高压油管增加质量之和，即：

MA=MB+ΔM

(18)

采用变步长搜索算法对积分公式进行求解，具体的算法步骤如下：

Step 1.定义变量p1,ρ1,ma,mb,i,M，分别表示高压油管内的燃油的压强、密度、进油总质量、出油总质量、A处单次开启时长和高压油管内燃油总质量，并给p1赋初值100 MPa,给ρ1赋初值0.850 mg/mm2,给ma和mb赋初值为0，给M1赋初值为33 379.4 mm3，给i赋初值为0.1 ms，以0.1 ms为步长，1 ms为终点遍历每一个i进行搜索。

Step 2.将调整时间2 s离散化为2 000个等长时间段，定义变量j表示离散化的调整时间，j的范围为[1,2 000]。

Step 3.利用公式(3)、公式(5)计算p1,ρ1,ma,mb，进行迭代搜索，记录到每一个离散化时间的进油质量和出油质量，并计算高压油管内燃油总质量M1。

Step 4.若高压油管内燃油总质量M1大于等于高压油管内压强为150 MPa时高压油管内燃油总质量或j达到2 000，记录此时高压油管内燃油总质量M1与压强为150 MPa时高压油管内燃油总质量的误差，结束遍历，否则转Step 3。

Step 5.求出误差的绝对值最小的i，以0.01为步长对[i-0.1,i+0.1]范围内的每一个值进行搜索，记录误差绝对值最小的i即为开启时长的优解。

根据上述算法求解得到：

当调整时间为2 s时，单向阀每次开启时长需为0.87 ms；当调整时间为5 s时，单向阀每次开启时长应为0.76 ms；当调整时间为10 s时，每次开启时长为0.75 ms。

2 结束语

文中根据质量守恒定律，建立单位时间内(ms)进出高压油管燃油质量守恒模型，计算出单向阀单次开启时长。在质量守恒模型基础上，利用变步长搜索法分别计算出经过2、5和10 s的时间长度后使得高压油管内的压力从100 MPa增大到150 MPa，并稳定在150 MPa时单向阀单次开启时长。该模型还可以推广用于解决其他工程管道的控制和决策问题。