王立斌

(复旦大学附属中学，上海 200433)

1 研究背景

物体在跟位移大小成正比,并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动,是简谐振动,简谐振动中,回复力F与振动位移x满足数学关系式F=-kx．一切符合了这个条件的振动都是简谐振动．简谐振动是最简单、最基本的机械振动．[1]

简谐运动的位移-时间图像通常称为振动图像,也叫振动曲线．理论和实验都证明,简谐运动的振动图像是正弦或余弦曲线．[2]

图像是形象地表征简谐振动运动特点的基本方法,能够帮助学生理解物理规律表现形式的多样性,加深对简谐振动规律的认识．

获得振动图像的方法,人已经进行了大量的研究[3-4],基本的原理都是通过计算机或者物理的方法留下作简谐振动的物体(例如弹簧振子或者单摆)在各个时刻的振动位移．在课堂上,教师常用的演示仪器是“砂摆”,但“砂摆”需要配有支架和连接有电机的底板, 所用的沙子需是干燥筛选后的细沙, 否则它会造成堵塞流口或流出不畅的现象而影响图像的质量．有教师对“砂摆”实验进行了改进,设计了 “水摆”[5-6],但要么实验准备较为复杂,备课效率低,要么实验效果欠佳,得到的振动图像较为牵强,而且没有对改进后装置的科学性、使用误差进行系统分析,即水摆是否还能近似为单摆?

为了达到更好的教学效果,提高备课效率,增加学生的自主体验,笔者在准备振动图像这部分教学内容的过程中,对“水摆”实验进行了改进和研究,使该实验具有较高的准确性,易操作性、可靠性、易维护性和趣味性,作图效果、教学效果良好,而且证明了“水摆”的科学性．

2 用水摆演示简谐振动图像主要内容

实验材料:普通矿泉水瓶,细线,铁架台,短尺(或短木棒),夹子,小火车(配直导轨),可再生纸(新闻纸),托盘．

实验步骤及注意事项:

(1) 制作水摆．

任意找一个圆柱形矿泉水瓶,用轻质细线系紧,悬吊即可,如图1所示．

水摆制作完毕后,悬挂延长的那根细绳,应与瓶子的中轴线共线．如图2所示．

图1 水摆

图2 悬绳应与瓶子的中轴线共线

(2) 打孔．

图3 由内向外戳孔

用普通钢针在瓶盖中心,由内向外戳孔,如图3所示．

图4 两种孔径的水滴效果.左边为小孔，右边为大孔.

由于水的表面张力作用,水滴容易附着在瓶盖表面,减弱甚至阻断水的流出．由内向外戳孔时,瓶盖破损处的断面可减小水滴附着面积,削弱表面张力的影响．另外,打孔用的钢针直径偏大些为宜．笔者对比了直径1.2mm的钢针(绒线针)和直径0.55mm的钢针(手缝针)戳孔后的水滴效果,如图4所示．

瓶身打孔．

如果只有瓶盖一个孔,在拧紧瓶盖倒置瓶子后,由于大气压强的作用,瓶里的水无法持续流出．所以需要一个进气孔．考虑到实验前水瓶静置时,瓶里的水不能流出,应在距离瓶底1/2至2/3瓶身高度处打孔,并用记号笔在瓶身上划线以提示装水线,如图5所示．

由于液体表面张力的影响,水压过低时,液体不易流出．如图4所示实验,瓶盖高度约为1.2cm,在有孔瓶盖内装满水,小孔瓶盖中的水,在1.2cm高的水压作用下,甚至不流出来,大孔瓶盖中的水,在1.2cm高的水压作用下,也只是缓慢滴落．所以,为了维持水瓶中水的持续流出,需要一定的压强差．这样,在瓶身打孔的位置也不宜过高,在距离瓶底1/2至2/3瓶身高度处打孔为宜,以保证水瓶倒置后,两孔间有一定的压强差．(稳定时压强差Δp=ρgh,h为两孔间的高度差．)

水流效果如图6所示时即可使用．

图5 瓶身打孔及装水线

图6 水流效果

需要指出的是,在同样能够保证水流持续流出的情况下,开孔越小,水流越细越好．

(3) 组装仪器．

图7 组装仪器

将水摆细线绕在短尺上,短尺搭在铁架台后,调整细线长度,使水摆底端距离桌面约2cm,高度刚好能放进一个托盘时即可用夹子把细线夹紧在短尺上．

将可再生纸(下简称白纸)和火车导轨沿垂直于摆动方向放置,用透明胶带连接小火车和白纸即可,仪器组装如图7所示,然后即可将短尺连同水摆取下,在瓶中加入普通自来水至装水线(开孔处)待用．

小火车使用一般市面上可以买到的普通电动玩具小火车即可,笔者使用的小火车速度大小约为18cm/s．

纸张使用的是普通试卷用的可再生纸,颜色偏黄,亦称“新闻纸”,吸水前后颜色对比明显．

如果使用颜色较白的双胶纸,吸水后颜色对比不明显,那就需要在水中额外添加者蓝色墨水或者其他颜料来增加颜色对比了．

(4) 画图．

图8 先在水摆下方放置一个接水托盘

实验前,先在水摆下方放置一个接水托盘,然后释放水摆,如图8所示．当水摆在托盘里面的水迹是一条直线并且与走纸方向垂直时,抽出托盘,打开小火车开关,让小火车带动白纸匀速前进即可得到振动图像,如图9所示,最后将水摆停摆正放,关闭小火车开关即可．

图9 水摆的振动图像

3 “水摆”误差分析

一个质点,用一个没有质量的刚性悬丝悬挂,仅受重力作用,在一个竖直平面内摆动,即是一个单摆,也叫数学摆．[7-8]单摆是一个理想物理模型,在教学实践中,常用“细线小钢球” 近似为单摆,即,一根轻质细线,一端系紧小钢球,一端固定,可近似为单摆．

图10 水摆简化

水摆实验中,振动物体为圆柱体,与“细线小钢球”模型差异较大,是否能近似为单摆呢?笔者对此进行了理论和实验研究．

3.1 理论分析．[9-10]

首先将水摆误差问题进行如下简化．

如图10,一底面半径为r,高度为h,质量为m的实心均匀圆柱体,在轻质不可伸长的细线牵引下,做小角度振动．线长为L1．悬点为O．若r、h与L1相比不可忽略不计,求解此摆动物体的周期,并进行误差分析．

分析解答:应用复摆理论进行求解．

复摆小角度摆动周期为

(1)

(2)

若要求复摆周期T1与理想单摆周期T0误差在1%以内,即T1=1.01T0,对于一个底面半径为r=2.75cm,高度h=15cm,可看做圆柱体的装满水的瓶子,则由(1)、(2)两式计算可以得,只要摆线长大于L1=24.5cm=1.63h,即可保证使用单摆周期公式计算时的误差在1%以内．

若要求复摆周期T1与理想单摆周期T0误差在1%以内,即T1=1.01T0,对于一个底面半径为r=1.3cm,高度h=6.6cm,可看做圆柱体的装满水的瓶子,则由(1)、(2)两式计算可以得,只要摆线长大于L1=10.8cm=1.64h,即可保证使用单摆周期公式计算时的误差在1%以内．

3.2 实验研究

(1) 实验内容:用光电门传感器测量不同水摆的在不同摆长时的振动周期．

(2) 实验器材:朗威DIS系统加光电门传感器,铁架台,米尺.

对照组为“细线小钢球”摆．小钢球半径为1.0cm．

实验组为两种尺寸的水摆,

水摆1:底面半径为r=2.75cm,高度h=15cm,可看做圆柱体的装满水的瓶子,在底面圆心连接有足够长的轻质细线．

水摆2:底面半径为r=1.3cm,高度h=6.6cm,可看做圆柱体的装满水的瓶子,在底面圆心连接有足够长的轻质细线．

(3) 实验主要步骤:如图11所示,组装好实验器材．

图11 用光电门传感器测量不同水摆的在不同摆长时的振动周期

调节各摆的细线长至摆长L预定值,用光电门传感器因此测量各摆的周期T．

改变摆长,重复以上步骤．

误差分析计算．

(4) 实验数据.

表1

对于水瓶摆,摆长L为悬点至盛水部分中心的距离．对于钢球摆,摆长L为悬点至球心的距离．

周期为多次测量的平均值．

(5) 实验结论.

对于本实验中的水瓶摆,只要摆长大于2倍瓶身高度,水瓶摆的周期与钢球摆的周期误差小于1%．

3.3 误差分析小结

影响单摆周期的因素很多,摆动过程中的空气阻力、空气浮力、摆长改变、摆动平面变化等等,都会引起周期误差．

综合理论分析和实验验证,可以得出以下结论,在误差允许的范围内,从周期角度来说,水瓶摆也可以近似为单摆．以一个底面半径为r=2.75cm, 瓶身高度h=15cm,可看做圆柱体的装满水的瓶子为例,只要摆长大于2.6倍瓶身高度(摆线长大于1.6倍瓶身高度),即可保证使用单摆周期公式计算时的误差在1%以内．

当然,为了帮助学生树立正确的理想模型的物理观念,在实际使用中,摆线长相对于振子尺寸还是较长些好,而且要强调水摆只是可近似为单摆．