■河南省罗山县高级中学 杨 希

利用空间向量解决立体几何问题在高考中主要有三类:异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角。从这三个角度出发,我们来谈谈折叠问题、动态问题、探索性问题如何与其交汇,形成创新热点题型。

创新角度一、折叠背景下探究异面直线所成的角

(1)设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,若l1与l2所成的角为θ,则θ的范围为且若a与b的夹角 为〈a,b〉,则〈a,b〉的范围为[0,π],且

(2)利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤为:

①选好基底或建立空间直角坐标系;

②求出两直线的方向向量v1,v2;

(3)求异面直线所成角时的注意点:

两异面直线所成角的范围是θ∈两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角。

例1将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,则异面直线AD与BC所成的角为( )。

解析:不妨以△ABC为底面,则由题意当以A,B,C,D为顶点的三棱锥体积最大,即点D到底面△ABC的距离最大时,平面ADC⊥平面ABC。

设O是AC的 中点,连接BO,DO,则易知BO,CO,DO两两互相垂直。

以O为坐标原点,建立如图1 所示的空间直角坐标系。

图1

令BO=CO=DO=1,则O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),于 是

所以异面直线AD与BC所成的角为

答案:C。

创新角度点评:通常情况下,我们都是在现成的空间几何体内求解异面直线所成的角,这就为我们寻找异面直线所成的角创造了现成的观察平台。 如果几何图形需要折叠,而折叠后所得到的是一个空间几何体,这就需要我们用全新的眼光去定夺一个 “新生事物”,判断是否有暗礁与险滩,我们需要小心为事。

创新角度二、动态状态下已知线面角求线段的长度

(1)设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则

①分别求出斜线和它在平面内的射影,直线的方向向量,将问题转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)。

②通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角。

(3)利用平面的法向量求线面角的两个注意点:

①求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角),取其余角即为所求。

②若求线面角的余弦值,要注意利用平方关系sin2θ+cos2θ=1 求出其值。不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值就是所求。

例2如图2所示,已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥ 面ABCD,∠ABC=90°,△ABC≌ △ADC,O为AC的 中 点,E是PC的中点,AC=2AB=2。

图2

(1)求证:平面DOE∥平面PAB;

首先是纯文学阵地大面积失守。纯文学原有阵地包括图书、期刊、报纸副刊三大块。出版社被推向市场后，经济效益成为更现实的问题，纯文学图书的出版日渐萧条，单本书平均销量持续下滑，达不到一定发行量的纯文学作品基本无缘面世。受新媒体冲击，报业立足生存尝试各种改版，产生不了直接经济效益的文学副刊大多被文化娱乐版面替代，即便保留也是替补角色，上场机会极少。纯文学阵地仅剩文学期刊，这块阵地也大片丢失，“最后还在顽强坚守的能够刊载原创纯文学作品的刊物也就几十家了。在这几十家中目前可以以发行量生存的不足十家，大多数是要依赖政府的公益拨款来维持生命的。”［2］

(2)若直线ED与平面PBC所成角的正弦值为求PA的长度。

解析:(1)因为O为AC的中点,且∠ABC=90°,所以

同理,DO=1。

又因为AB=AD=1,所以四边形ABOD是菱形,所以DO∥AB。

又因 为O为AC的 中 点,E是PC的 中点,所以OE∥PA。

又因为OD∩OE=O,PA∩AB=A,OD,OE⊂平面ODE,PA,AB⊂平面PAB,所以平面DOE∥平面PAB。

(2)设PA=t(t＞0),因为AB⊥BC,PA⊥面ABCD,所以以B为原点,BA为x轴,BC为y轴,过点B平行于AP的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图3所示。

图3

故B(0,0,0),

设面PBC的法向量为n=(x,y,z),则取x=t,得n=(t,0,-1)。

设直线ED与平面PBC所成的角为θ,则

创新角度点评:我们平时所见的绝大多数求解线面角问题,都是直接求直线的方向向量与平面的法向量,然后套用公式确定直线与平面所成的角。如果已知直线与平面所成的角(或角的三角函数值)去求解某条线段的长,那么线面角所在的几何体就是一个 “动态”的,是需要我们去“调整”的,这里的“动态”与 “调整”指的就是可以去寻找方程,确定所求线段长度。

创新角度三、二面角与探索性问题

(1)利用向量计算二面角大小的常用方法:

①找法向量:分别求出二面角的两个半平面的法向量,然后通过两个半平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小。

②找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小。

(2)利用法向量求二面角时的两个注意点:

①对于某些平面的法向量要注意是隐含在已知条件中,不用单独求。

②注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角,可结合图形进行,以防结论错误。

(3)利用空间向量解决探索性问题的这类题型,其考查形式主要是已知二面角的大小逆向探索求解 “点”的存在问题。若所探求的 “点”存在,则一般情况下是存在于线段的等分点,如二等分点、三等分点等。

例3如图4 所示,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°,E是棱CC1上的动点,F是AB的中点,AC=1,BC=2,AA1=4。

图4

(1)当E是棱CC1的中点时,求证:CF∥平面AEB。1

(2)在棱CC1上是否存在点E,使得二面角A-EB1-B的余弦值是若存在,求EC的长;若不存在,请说明理由。

解析:(1)取AB1的中点G,连接EG,FG。

因为F,G分别是棱AB,AB1的中点,所以

又BB1∥CC1,且BB1=CC1,EC=,所以

所以FG∥EC,且FG=EC。

所以四边形FGEC是平行四边形,所以CF∥EG。

因为CF⊄平面AEB1,EG⊂平面AEB1,所以CF∥平面AEB1。

(2)以C为坐标原点,射线CA,CB,CC1为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立如图5 所示的空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,4)。

图5

设E(0,0,m)(0≤m≤4),平面AEB1的法向量n1=(x,y,z)。

令z=2,则n1=(2m,m-4,2)。

连接BE,因为CA⊥平面C1CBB1,所以=(1,0,0)是平面EBB1的一个法向量。

所以在棱CC1上存在点E,符合题意,此时EC=1。

创新角度点评:探索性问题一直以来就是一个热点问题,而把探索性问题与二面角相结合就更是高考的热点考查角度。一定要明确这类问题的解答思路,比如,该题的探索解决途径体现在将点E的是否存在转换为法向量n1=(2m,m-4,2)是否存在,而法向量n1=(2m,m-4,2)是否存在又体现于其中的m是否有解。