■广东省汕头市澄海华侨中学 潘敬贞

一、近三年试题特点分析

题型上,近三年高考全国卷对立体几何的考查题型有选择题、填空题及解答题。题量上,多数以 “两小一大”为主,偶有 “一小一大”,如2018年全国Ⅰ卷有 “三小一大”共27分,而2019 年全国Ⅰ卷才“一大一小”共17分,所以说题量并不是固定的,有时有微调。

知识点分布上,小题主要考查点线面的位置关系与数量关系,求体积、面积等知识,部分试题渗透数学文化、实际背景及知识交汇处命题,突出试题的思想性和知识点的实际应用价值,主要考查同学们的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养。另外2019年全国9套试卷均未考查三视图,这与新课改中要求删除三视图有一定关系,但2020 年高考的命题仍按老课标与老教材进行命题,没有任何信息表明2020年高考不考三视图,因此在备考时一定要注意。立体几何解答题一般位于17～20题的位置,题型比较常规,第一小题重点考查线线、线面、面面的位置关系的证明,第二小题理科主要考查空间角,文科主要考查求锥体的体积、表面积等问题,要求同学们对基本概念的掌握要清晰,并且具备一定的运算能力。

难度上,小题以容易题和中档题为主,也有压轴小题,比如2018年全国Ⅰ卷理科第12题,2019年全国Ⅰ卷理科第12题,2017年全国Ⅰ卷理科第16题。解答题基本上是以中档题为主。

二、考查问题分析

高考全国卷立体几何的小题主要考查以下几个方面的问题:(1)几何体中的线面位置关系、数量关系,主要情形有:①已知一个球及其内接或外切的几何图形求其中的数量关系;②已知一个多面体中的位置或数量关系求其他的数量关系。(2)根据某几何体的三视图猜想其几何特征并求该几何体的某个数量关系,主要情形有:①给出几何体的三视图,通过看图、想图和画图得到其直观图,以此确定其几何特征并求其有关数量;②根据三视图的条件确定直观图所表示的几何体的几何特征,计算难度很低,一般是求能反映几何体本身特征的量,并且只要求代公式直接求值。

解答题常考查证明和求解其他线面位置关系和数量关系,主要情形有:①根据几何体的部分线面位置关系及数量关系,通过转化、推理、计算,从而证明和求解其他线面位置关系和数量关系,具体呈现为:证明异面直线垂直、线面垂直、面面垂直、线面平行、面面平行,求几何体的体积、表面积,点到面的距离等;②通过建立空间坐标系,利用向量运算求几何体中的空间数量关系。

三、高考动向透视

随着新课标的颁布,高考命题也发生了微妙的变化,试题凸显以基本知识为载体,考查同学们的核心素养。主要是以立体几何的基本概念、基本知识、基本几何体为载体,通过想图、画图、用图的过程考查同学们的直观想象与数学抽象;通过判断或证明点、线、面的位置关系考查同学们的逻辑推理;通过求线面的数量关系考查同学们的数学运算等核心素养。选择题与填空题由于不给几何图形,同学们必须通过想图、画图、用图等一系列过程方可顺利解决有关问题,这样更好地考查同学们的直观想象与数学抽象等核心素养。由于受到已知图形的限制,因此解答题更侧重于考查同学们的逻辑推理、数学运算与数学建模等核心素养。当然,有些试题具有较强的综合性,同一道试题既考查数学抽象又考查逻辑推理,还考查数学运算。

1.分析几何体中的位置关系

例1(2019年全国Ⅱ卷文理7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )。

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α,β平行于同一条直线

D.α,β垂直于同一平面

答案:B。

评注:本题结合充要条件考查线面位置关系,由于没有已知图形,也不需要运算,考生全凭自己掌握的立体几何基本知识通过想象解决问题,主要检测考生运用直观感知、操作确认、推理论证解决立体几何问题的关键能力,这类题有一定的难度,要注意掌握好基础知识,提升自己解决问题的能力。

2.分析几何体中的几何关系并求其中的数量关系

(1)已知一个球及其内接或外切的几何图形求其中的数量关系。

例2(2018年新课标Ⅲ卷文12理10)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9则三棱锥体积的最大值为( )。

答案:B。

评注:解答本题,首先是想图和画图,再分析体积表达式中不变的量是三棱锥底面的面积,变量只有三棱锥的高,即三棱锥高的最大值是球心到底面的距离加上球的半径,进而将问题转化为求球心到截面的距离,构造直角三角形易得其解。主要考查直观想象、数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养。

(2)已知一个多面体中的位置或数量关系求其他的数量关系。

例3(2018年全国Ⅰ卷文10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( )。

答案:C。

评注:本题以长方体为载体,考查线面夹角的概念,建立关于线面夹角的数学模型,求出长方体的棱长,从而求出长方体的体积。主要考查直观想象、数学建模、数学运算等核心素养。

例4(2017年新课标Ⅰ卷理16)如图1,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边△ABC的中心为O。D,E,F为 圆O上 的 点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥。当△ABC的边长变化时,则所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为____。

图1

评注:本题主要结合导数工具求三棱锥体积的最大值,首先要分析数量关系,建立关于体积的数学模型,再利用导数工具进行解决。本题具有一定的综合性、灵活性、创新性,主要考查直观想象、数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养。

3.根据某几何体的三视图猜想其几何特征并求该几何体的某个数量关系

例5(2017 年新课标Ⅱ卷文6 理4)如图2,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )。

图2

A.90π B.63π C.42π D.36π

答案:B。

评注:给出几何体的三视图,通过看图、想图、画图得到其直观图,以此确定其几何特征并求其有关数量。 这类问题主要考查由三视图得到直观图的空间想象能力;其次是根据三视图的条件确定直观图所表示的几何体的几何特征;计算难度比较低,一般是求能反映几何体本身特征的量,并且只要求代公式直接求值。 主要以考查简单组合体与残缺体为主。

4.证明和求解其他线面位置关系和数量关系

(1)根据几何体的部分线面位置关系及数量关系,通过转化、推理、计算,从而证明和求解其他线面位置关系和数量关系。

例6(2017 年新课标Ⅰ卷文18)如图3,在四棱 锥P-ABCD中,AB∥CD,且 ∠BAP= ∠CDP=90°。

图3

(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积。

评注:本题主要考查空间几何体的面面垂直的证明、求四棱锥的侧面积等知识,意在考查考生的空间想象能力、化归转化能力、运算求解能力。第一问欲证平面PAB⊥平面PAD,只需要证明AB⊥平面PAD,即在平面PAD内寻找两条相交直线与AB垂直,利用已知条件,即可得证。第二问,利用第一问的结论,可快速求出四棱锥的高,再利用四棱锥P-ABCD的体积为,即 可 求 出AB的长,从而可以求出该四棱锥的侧面积。

(2)通过建立空间坐标系,利用向量运算求几何体中的空间数量关系。

例7(2019年全国Ⅱ卷理17)如图4,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1。

图4

(1)证 明:BE⊥ 平 面EB1C1;

(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值。

评注:第一问证明线面垂直,主要考查同学们对点线面位置关系的理解、应用及语言表达,属于同学们较为熟悉的问题。第二问求解二面角的正弦值,属于常规问题,题目入口宽有利于同学们的解答,注重考查四基与四能,若能用好空间直角坐标系,还可以给试题的解答赋予更优化的方法,关键看同学们如何选择使用。建立空间直角坐标系常用的三条途径:①利用图形中现成的垂直关系建立坐标系,当图形中有两两垂直且交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建系;②利用图形中的对称关系建系,图形中虽没有两两垂直且交于一点的三条直线,但有一定的对称关系,利用图形中的对称关系可建立空间直角坐标系,这是建立空间直角坐标系解决立体几何有关问题的关键;③利用面面垂直的性质建立坐标系,图形中有两个互相垂直的平面,可以利用面面垂直的性质定理作出两两垂直且交于一点的三条直线,从而建立坐标系。

四、复习建议

在复习过程中,一要重视基本概念本质的理解,了解概念、公式的来龙去脉。二要正确理解数学符号并规范使用数学符号,包括文字语言、符号语言、图形语言,要做到三种语言的熟练转化。对课本上的定理、公理能够用三种语言表示,对平行、垂直判定方法进行梳理总结,形成系统,用三种语言表示。多多练习命题真假判断问题,一方面,加深对定理的理解;另一方面,通过画图、想图,培养将文字语言、符号语言转化为图形语言的能力。三要有意识地提升画图能力,高考中立体几何小题一般都不给图,而大题中所给的图又往往需要添加辅助元素,所以从某种意义上说,作出一个好图等于题目解决了一半,因此,在复习中注重画图能力的提升,训练中要做到:(1)会画——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),作出的图形要直观,虚实要分明。(2)会看——根据题目给出的图形,想象出几何体的形状和有关线面的位置关系。(3)会用——对图形进行必要的分解、组合,或对其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补等。四要规范表述,基础知识、基本技能、基本方法、基础练习要到位,解题步骤要规范,注重通性通法,体现 “大众化”。从历年备考立体几何解答题的情况来看,很多考生出现“会而不对,对而不全”的问题比较严重,很值得引起我们的重视。因此,在平时的训练中,要养成规范答题的良好习惯,把典型问题的解法总结成程序化的步骤。比如用空间向量解决立体几何问题的步骤为:合理建系——正确写出坐标——写出相关向量——经过向量运算——向量结论——几何结论。