林革

“模糊数学”的存在

一粒谷子不能成堆，再加一粒也不能，倘若持续不断地一粒粒增加，又终将成为谷堆。那么，多少粒谷子才算“谷堆”呢？在加谷子的过程中，到底加到哪一粒才形成“谷堆”呢？假如断定300粒为一堆，那么299粒谷子是不是也成堆呢？所以，一粒谷子不成谷堆又成就了谷堆。这似乎都正确的结论却又自相矛盾，就是历史上著名的“谷堆论证”，它是古希腊麦加拉学派哲学家欧布里德提出的，借以论证“多”不能成立。同时，这位哲学家还提出了另一个问题：一个人如果拔去一根头发，不会成为秃头;再拔去一根，也不会成为秃头……，如此反复递减也不会成为秃头。可秃头又的确是头发一根一根脱落的结果，那么一个人到底要掉多少根头发才算作秃头呢？这就是“秃头论证”，借以论证“少”不能成立。欧布里德试图以此来证明人们在常识中对“多”与“少”的区别是武断的。这两则著名论证中蕴含的数学道理，让古往今来的有识之士苦苦思索了两千多年。

我们不能仅根据一粒谷子的加与不加来判断是否为谷堆，也不能凭一根头发的掉与不掉来判断是否为秃头。“谷堆”和“秃头”都是模糊性、整体性的概念，我们感知到的是它们的整体形象，无法用一个精确的数来作为划分标准。这类模糊现象也是十分复杂的现象，它们既不可能被明确界定为精确量，也不可能从统计上来寻求规律性;只有当模糊现象找到可以被精确的数学语言所描述的方法时，科学家才有可能运用精确的数学方法对它进行研究。