赵国荣,李晓宝,刘 帅,赵超轮

(1.海军航空大学参谋部， 山东 烟台 264001； 2.海军航空大学岸防兵学院， 山东 烟台 264001)

导弹末制导律能够实现导弹对目标的精确打击，同时考虑终端落角的约束，能够使得导弹取得最佳毁伤效果[1]。拦截机动目标时，由于目标信息未知，传统的比例导制导性能大大降低[2]，而滑模控制由于其对外部干扰和内部不确定性有较强的鲁棒性，应用在制导律设计中取得了良好的效果。

末制导中导弹为满足落角要求，弹道通常较为弯曲，这可能导致目标不在导弹的导引头视场范围内，使导弹丢失目标[3]。同时，导弹自动驾驶仪延迟也是影响制导精度的重要因素，因此，研究末制导律时同时考虑导弹落角和视场角约束并结合自动驾驶仪的延迟影响具有重要意义。文献[4]基于切换逻辑的思路设计了带有落角和视场角约束的终端滑模制导律，因为存在指令转换的问题，制导律不是光滑连续的；文献[5]利用积分型障碍Lyapunov函数设计了一种新型滑模制导律能同时约束落角和视场角，但积分项的引入使得制导律求解较为困难。文献[6]考虑了导弹的一阶自动驾驶仪延迟问题，而研究导弹的二阶动态特性更贴近实际情况。文献[7-8]进一步给出了考虑自动驾驶仪二阶动态和攻击角度约束的制导律设计方法。然而，文献[6-8]都没有考虑了视场角约束的问题。

本文结合导弹自动驾驶仪的二阶动态特性提出了一种带有落角和视场角约束的末制导律。通过构造一种新型的滑模面并结合动态面控制给出了制导律的设计方法；利用一种新的障碍Lyapunov函数并根据Lyapunov稳定性理论，证明了制导系统的弹目视线(line of sight，LOS)角跟踪误差和LOS角速率是收敛的，并且视场角始终满足约束条件。

1 问题描述和相关引理

1.1 问题描述

如图1所示,假定末制导过程中导弹和目标的速度VM和VT大小不变，r和q分别表示为弹目之间的相对距离和LOS角，φM和φT分别表示为导弹和目标的前置角，γM和γT分别表示为导弹和目标的航迹角，aM和aT分别表示为导弹和目标的法向加速度。导弹和目标的末制导运动学关系为

(1)

图1 弹目关系

(2)

其中，d=aTcosφT。

假设1若存在一个有界常数 Δ≥0 代表目标加速度aT的最大值，可知 |d|≤Δ。

导弹的自动驾驶仪的动态特性可以看成二阶惯性环节：

(3)

其中，u为导弹自动驾驶仪的输入指令，ζ和ωn分别代表导弹自动驾驶仪的阻尼比和固有频率。

(4)

针对捷联导引头，在攻角近似为零的情况下，可采用前置角φM来表示导弹的视场角。若导弹可接受的最大视场角为φmax，本文末制导律的设计要求就是通过制导指令u使LOS角误差x1以及垂直于LOS方向的相对速度分量x2最终收敛到零，确保导弹能够以给定的落角qd准确命中目标，并且保证导弹视场角始终满足 |φM|≤φmax。

根据式(1)可得 |φM|≤φmax成立的充分条件为

|x2|≤α

(5)

其中，α=VMsinφmax-VT。

1.2 基本引理

引理2[10]对任意的正数α，令A={x∈R∶|x|<α{ 以及B=Rl×A⊂Rl+1均为开区间，考虑如下系统：

(6)

其中，η=[ω,x]T∈B，函数h∶R+×B→Rl+1在时间t上分段连续，并且关于x满足局部一致Lipschitz条件。若函数U∶Rl→R+以及V1∶A→R+在各自的定义域内连续可微且是正定的，同时满足：当 |x|→α时，V1(x)→∞ ；γ1(||ω||)≤U(ω)≤γ2(||ω||)，γ1和γ2为K∞类函数。那么，对于函数V(η)=V1(x)+U(ω) 以及初时状态x(0)∈A，假设不等式满足如下关系

(7)

其中a,b>0，则对任意t∈[0,∞)，都满足x∈A。

2 考虑自动驾驶仪延迟的带有落角和视场角约束的制导律

2.1 制导律的设计

1) 设计虚拟控制量x3c

构造如下滑模面

s1=x2+α(1-e-β|x1|)sign(x1)

(8)

对其求导可得

(9)

虚拟控制量x3c设计如下：

(10)

为了避免逆推设计方法的项数爆炸问题，引入一个一阶滤波器对虚拟控制量x3c进行滤波：

(11)

其中，τ3>0 为滤波器设计参数，x3d(0)=x3c(0)。

定义边界层误差：

y3=x3d-x3c

(12)

2) 设计虚拟控制量x4c

定义跟踪误差变量

s2=x3-x3d

(13)

对其求导可得

(14)

虚拟控制量x4c设计如下：

(15)

通过一个一阶滤波器对虚拟控制量x4c进行滤波

(16)

其中，τ4>0 为滤波器设计参数，x4d(0)=x4c(0)。

定义边界层误差

y4=x4d-x4c

(17)

3) 设计制导指令u

定义跟踪误差变量

s3=x4-x4d

(18)

对其求导可得

(19)

导弹制导指令u可设计如下

(20)

进一步，将式(11)、式(13)、式(15)、式(16)、式(18)代入式(10)可得

(21)

2.2 稳定性分析

定理1对于制导系统式(4)，如果制导指令u设计为式(21)，并且状态变量x2满足约束条件 |x2|<α，则导弹最终能够成功的拦截目标，并且状态变量x1,x2收敛于零。

证明：该定理证明过程如下：

构造如下障碍Lyapunov函数：

(22)

(23)

因为 |x2|<α，可知 |s1|<α+gsign(s1)，即 |ξ|<1。

对V1求导并代入式(9)、式(10)、式(12)、式(13)可得：

φ[d-Δsign(s1)-k1s1-φ-(s2+y3)cosφM]

(24)

根据YOUNG不等式可得：

(25)

(26)

根据假设1以及引理1得：

φ[k1s1+φ+(s2+y3)cosφM]≤

φ[-k1s1-φ-(s2+y3)cosφM]≤

(27)

构造如下Lyapunov函数：

(28)

对其求导并代入式(14)、式(17)、式(18)可得：

(29)

构造如下Lyapunov函数：

(30)

对其求导并代入式(19)、式(20)可得：

(31)

构造如下Lyapunov函数：

(32)

(33)

(34)

对Lyapunov函数V求导可得

-2k1V1+(3-2k2)V2+(1-2k3)V3+

(35)

(36)

求解式(36)得：

(37)

当制导系统的状态量x1,x2到达滑模面s1=0 时，由式(8)可知x1x2≤0，并且

|x2|=α(1-e-β|x1|)

(38)

构造如下Lyapunov函数

(39)

对其求导可得

(40)

(41)

求解上述不等式可知

(42)

定理2假设末制导初始条件满足 |x2(0)|<α，那么，在制导律(21)的作用下末制导状态变量x2始终满足约束 |x2|<α。

状态变量x1,x2在到达滑模面s1开始滑动时，由s1=0，可知 |x2|=α(1-e-β|x1|)≤α。证毕。

注1因为符号函数 sign(s1) 的存在，制导律(21)中x3c是非连续的，可能会引发颤振现象。为此，用Sigmoid函数近似替代符号函数 sign(s) ：

(43)

3 仿真分析

假设导弹的初始位置为(-5 000 m,0)，目标的初始位置为(0,0)，初始航迹角γM0=0 °，γT0=100 °，导弹和目标的速度分别取值VM=200 m/s，VT=40 m/s，目标的机动aT=gcos(πt/4)。制导律(31)中的参数选取为ζ=0.8，ωn=20，β=10， Δ=10，k1=2，k2=k3=10，τ3=τ4=τ=0.01，导弹最大加速度取 20g，重力加速度g=9.8 m/s2。

3.1 以不同落角和视场角约束打击目标

假设导弹最大视场角φmax分别为45°，60°，期望的落角qd分别为-40°，-60°，采用制导律式(21)在3种不同约束条件下进行仿真，结果如图2所示。

图2(a)表明：当φmax和qd变化时，导弹均能够成功拦截目标，并且φmax和qd越大，弹道曲线越弯曲。图2(b)给出了导弹加速度曲线图，可以看出三种不同约束情况下的加速度曲线都较为光滑平缓，不存在指令跳变。图2(c)表明：LOS角q最终都能够收敛到期望的落角qd，使得导弹满足落角约束的要求。图2(d)给出了导弹视场角φM的变化曲线，可以看出当限定最大视场角φmax时，在制导律式(21)作用下导弹始终能够在视场角范围内实现对目标的精确拦截。

3.2 与制导律FISMG，ISMDSG对比

文献[6]采用切换逻辑的思路设计的一种带有落角和视场角约束的制导律FISMG，但其没有考虑导弹自动驾驶仪影响；文献[10]设计了一种带有二阶自动驾驶仪动态特性和攻击角度约束的制导律ISMDSG。假设导弹最大视场角φmax为45°，期望的落角qd分别为-60°，为了充分分析制导律式(21)的制导性能，在相同的场景下，对3种制导律进行仿真，结果如图3所示。

图2 不同落角和视场角约束下的末制导仿真

图3 不同末制导律仿真

图3(a)给出了制导律式(21)和FISMG，ISMDSG末制导轨迹曲线，通过仿真得出三者的末制导时间分别为27.92 s，28.01 s和29.54 s，对应的脱靶量分别为0.012 4 m，0.664 9 m，0.002 4 m。通常情况下末制导终端弹目相对距离rf满足rf≤0.25 m时，认为末制导是成功的。因此，制导律式(21)以及ISMDSG能够使导弹成功拦截目标，并且制导律式(21)使导弹的末制导时间最短，而FISMG使导弹的末制导过程失效，这是因为FISMG是在导弹自动驾驶仪理想情况下设计的，当考虑导弹的自动驾驶动态特性时，FISMG的制导性能大大降低，甚至失效。

图3(b)表明：当考虑导弹自动驾驶仪动态时，FISMG使得导弹的加速度出现了严重的震颤现象，并且制导律在设计过程中会存在指令跳变的问题，FISMG采用了一种特殊的方法来“软化”这一问题。而制导律式(21)和ISMDSG的加速度指令曲线光滑平缓。从图3(c)中可以看出制导律式(21)相比于ISMDSG使得LOS角能够在更短的时间内收敛到期望的落角qd，而FISMG对应的LOS角曲线在末端出现了发散的现象，最终不能使导弹满足落角约束的要求。图3(d)表明制导律式(21)和FISMG使得导弹在末制导过程中始终满足视场角约束的要求，并且制导律式(21)的视场角曲线光滑，而FISMG因为导弹加速度的变化而使得视场角在前期和末期产生了较大的抖动。ISMDSG因为在设计过程中没有考虑视场角约束，导致导弹在ISMDSG作用下超出了视场角约束范围，视场角最大值接近60°。

4 结论

本文在考虑导弹自动驾驶仪二阶动态特性的影响下设计了一种满足落角和视场角约束的新型制导律。所设计的制导律不存在指令跳变。结合滑模控制理论与动态面方法，从理论上严格证明了制导系统在该制导律作用下最终保持稳定，并且视场角在整个末制导过程中始终满足约束条件。仿真实验表明：在新设计的制导律作用下，导弹能够以不同的落角和不同的视场角约束准确的打击目标，与其他制导律的对比，本文所设计的制导律具有更加优越的制导性能。为了提高制导律精度，应采用更加精确的三维末制导模型，并且考虑视线俯仰运动和视线偏航面运动之间的耦合关系。如何在本文提出的制导方法基础上设计三维空间内的末制导律，值得进一步研究。