函数综合应用中的误区警示

2019-11-07刘大鸣特级教师

中学生数理化·高一版 2019年10期

关键词：剖析交点产值

■刘大鸣（特级教师）

本文汇集了函数综合应用中的误区警示，希望引起同学们的高度重视。

误区1：二元变量求最值（或值域），忽视变量的制约关系

例1若实数x，y满足3x2+2y2=6x，求x2+y2的最大值。

错解：由已知可得由可知当x=3时，x2+y2取得最大值为

剖析：上述解法忽视了约束条件3x2+2y2=6x中对x的限制作用。

正解：由，可得0≤x≤2，所以

警示：解题时，一定要挖掘隐含条件，即一个变量对另一个变量的限制作用。如题中由，得0≤x≤2。

误区2：分段函数中对区间上对应法则探究不彻底

例2定义在R上的函数f（x），满足函数则

错解：由已知得f（-1）=log22=1，f（0）=0，f（1）=f（0）-f（-1）=-1，f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-1-（-1）=0，由此可得f（x+4）=f（x），故f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=0。

剖析：上述解法对局部对应法则f（x）=f（x-1）-f（x-2）（x＞0）探究不彻底。

正解：由f（x）=f（x-1）-f（x-2）（x＞0），利用变量的任意性可得f（x+1）=f（x）-f（x-1），利用方程组观念可得f（x+1）=-f（x-2），即f（x）=-f（x-3），可得f（x+3）=-f（x），则f（x+6）=-f（x+3）=f（x），即当x≥-1，x∈Z时函数值重复出现。

由已知得f（-1）=log22=1，f（0）=0，f（1）=f（0）-f（-1）=-1，f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=0，f（4）=f（3）-f（2）=1，f（5）=f（4）-f（3）=1，f（6）=f（5）-f（4）=0。

由函数f（x）在当x≥-1，x∈Z时，f（x+6）=f（x），可得f（2011）=f（6×335+1）=f（1）=-1。

警示：分段函数的求值要运用对应法则合理选择解析式，对区间上对应法则的探究要彻底。题中由f（x）=f（x-1）-f（x-2）（x＞0），探究出f（x+6）=f（x）是解题的关键。

误区3：求函数零点的方法选择不当

例3判断函数f（x）=|2x|-3在区间[-1，1]内是否有零点。

错解：由f（-1）=f（1）=-1，可得f（-1）·f（1）=1＞0，则函数f（x）=|2x|-3在区间[-1，1]内没有零点。

剖析：上述解法在利用函数零点存在性定理时，忽视了其前提条件。

正解1：当x∈[-1，1]时，f（x）=|2x|-3≤-1，函数y=f（x）在[-1，1]上的图像与x轴没有交点，即函数f（x）=|2x|-3在区间[-1，1]内没有零点。

正解2：由|2x|-3=0，可得[-1，1]，故函数f（x）=|2x|-3在区间[-1，1]内没有零点。

警示：判断函数的零点个数，可利用零点存在性定理进行判断，当用零点存在性定理无法判断时，可画出图像进行判断。

误区4：由函数零点求参数的范围时忽视分类讨论

例4函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是

错解：所求问题可转化为函数y=ax（a＞0且a≠1）与y=x+a的图像有两个交点问题。画出两个函数的图像（图略），根据图像可知，a＞1。

剖析：上述解法在求两个函数图像的交点时，忽视了对0＜a＜1的讨论。

正解：函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点，也就是函数y=ax（a＞0且a≠1）与y=x+a的图像有两个交点。画出其图像（图略），由图像可知，当0＜a＜1时，两个函数只有一个交点，不符合题意;当a＞1时，函数y=ax（a＞1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点在点（0，1）的上方，这时一定有两个交点。综上可知，实数a的取值范围是a＞1。

警示：求函数的零点问题，可化归为两个函数图像的交点问题，利用数形结合法求解。

误区5：函数的零点的大小比较中忽视图像的作用

例5m，n满足2m+m=3n+n，则正数m，n的大小关系为

错解：不理解m，n的意义，忽视特殊值法和图像法的作用，因此乱猜m＞n。

剖析：上述解法忽视特殊值法和图像法的作用。

正解1：特殊值法求解。令m=3，n=2，适合方程2m+m=3n+n，则m＞n。

正解2：数形结合法求解。设2m+m=3n+n=k（k＞0），则2m=k-m，3n=k-n，于是m，n分别为函数y=2x，y=3x的图像与直线y=k-x的交点的横坐标，作出其图像，如图1所示。