■聂森林

函数模型及其应用是高中数学的重要内容，也是高考的常考点，同学们一定要理解和掌握几种常见的函数模型，学会应用函数的模型解决实际问题。

一、要点梳理

1.几类函数模型及其增长差异

2.解函数应用问题的几个步骤

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型。（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。（3）求模：求解数学模型，得出数学结论。（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义。

二、特别提示

求解函数应用问题时，一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件;二要将文字语言恰当准确地翻译为数学语言，用数学表达式加以表示;三要弄清给出什么条件，解决什么问题，通过何种数学模型加以解决;四要严格按照各种数学模型的要求进行推理运算，并对运算结果作出实际解释。

三、例题精析

1.森林砍伐问题

例1一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树木，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的

（1）求每年砍伐面积的百分比。

（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年?

（3）今后最多还能砍伐多少年?

解：（1）设每年砍伐面积的百分比为x（0＜x＜1），则，即（1-x）10，解得故每年砍伐面积的百分比为

（2）设经过m年剩余面积为原来的则，可得解得m=5。故到今年为止，该森林已砍伐了5年。

（3）设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为，即，即，解得n≤15。故今后最多还能砍伐15年。

评析：在实际问题中，人口增长，银行利率，细胞分裂等增长问题，都可以利用指数函数模型来表示。

2.蔬菜上的农药清洗问题

例2用水清洗蔬菜上的残留农药，显然用水越多洗掉的农药量越多，但总还有农药残留在蔬菜上。设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x），可设f（x）=现有a单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少。请说明理由。

解：a单位量的水，清洗一次，残留的农药量为其中f（0）=1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量保持原样，设为1。

把a单位量的水均分成2份后清洗两次，残留的农药量为

评析：本题属于一个模型化了的问题，就是说从题意出发已经假定了一个数学模型，即，这种假定的数学模型是解答本例的关键。

3.拟合函数问题

例3某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成表1。

表1

该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算。

请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按照你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润。

解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中分别画出A，B两种商品的散点图（图略）。观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟。取（4，2）为最高点，则y=a（x-4）2+2，把点（1，0.65）代入此方程解得a≈-0.15，所以y=-0.15（x-4）2+2。B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用一次函数模型进行模拟。设y=k x+b，取点（1，0.25）和（4，1），代入此方程解得k=0.25，{b=0， 所以y=0.25x。

故前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15（x-4）2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x。设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB，总利润为W，则xA+xB=12，W=yA+yB=-0.15（xA-4）2+2+0.25xB。于是可得故当元）时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB=8.8（万元）。故该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元。

评析：对于拟合函数模型问题，解题的关键是建立适当的函数关系式。