■胡 磊 魏 伟

题目 已知函数f（x）=|lnx|，若存在两个互不相等的实数a，b，满足f（a）=f（b），则

分析：设a＜b，由函数f（x）=|lnx|去绝对值，即可求解。

解：由函数f（x）=|lnx|=可作出此函数的图像，如图1所示。

图1

由图像可知，若存在两个互不相等的实数a，b，满足f（a）=f（b），设a＜b，则0＜a＜1，b＞1，可得-lna=lnb，即lna+lnb=0，也即lna b=0，故a b=1。

评析：解答本题需要画出函数的图像，根据图像以及对数函数的性质可直观求解。

变式1：已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m5，n]上的最大值为5，求m，n的值。

提示：由f（m）=f（n），根据上面题目可得因为正实数m，n满足m＜n，所以0＜m＜1＜n，可得0＜m5＜m＜1＜n。结合对数函数的图像可知函数f（x）=|log4x|在区间[m5，n]上的最大值为f（m5）=，解得

注意：解答本题的关键是确定函数在区间[m5，n]上的最大值是f（m5）。

变式2：已知函数f（x）=|log3x|，正实数a，b满足a＜b，且f（a）=f（b），若函数f（x）在区间[a2，b]上的最大值为2，则ab=

提示：由于函数f（x）=|log3x|，正实数a，b满足a＜b，且f（a）=f（b），所以0＜a＜1＜b，可得-log3a=log3b，即易知0＜a2＜1＜b，所以函数f（x）在区间[a2，1]上单调递减，在区间[1，b]上单调递增，可知当x∈[a2，b]时，函数f（x）在x=a2处取得最大值。由f（a2）=|log3a2|=2|log3a|，可得f（a2）=2|log3a|=-2 log3a=2，解得a=，从而可得故

变式3：已知函数f（x）=|log3（x+1）|，实数m，n满足-1＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在[m2，n]上的最大值为2，则

提示：结合函数f（x）=|log3（x+1）|的图像（图略）求解。由f（x）=|log3（x+1）|，且f（m）=f（n），可得（m+1）（n+1）=1。若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2（f（x）在[m2，n]上单调递增），则log3（n+1）=2，可得n=8，从而可得故应选C。

变式4：已知函数f（x）=|l g（x-2）|，若存在互不相等的实数a，b，使得f（a）=f（b），则的最小值为

提示：若存在互不相等的实数a，b，使得f（a）=f（b），则|l g（a-2）|=|l g（b-2）|，即l g（a-2）+l g（b-2）=0，可得（a-2）（b-2）=1，所以由a＞2，可知当时，取得最小值为