■向正银

对于函数y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的实数x叫作函数y=f（x）（x∈D）的零点。函数的零点个数问题是高考命题的一个热点，解答这类问题需要与函数的图像与性质相结合求解。

一、方程法

例1已知分段函数f（x）=则函数f（x）的零点是（ ）。

解：当x≤1时，由f（x）=2x-1=0，解得x=0;当x＞1时，由f（x）=2-log2x=0，解得x=4。

故函数f（x）的零点是0和4。应选D。

对于函数y=f（x），令f（x）=0，若能求出解，则有几个解就有几个零点。本题是求分段函数的零点，可分别解指数方程与对数方程得出结果。

二、定理法

例2设f（x）=x3+b x+c是[-1，1]上的增函数，且，则方程f（x）=0在[-1，1]内（ ）。

A.可能有3个实数根

B.可能有2个实数根

C.有唯一的实数根

D.没有实数根

解：由f（x）在[-1，1]上是增函数，且，可知函数f（x）在上有唯一的零点，所以方程f（x）=0在[-1，1]上有唯一的实数根。应选C。

零点存在性定理成立的两个条件：一是函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线;二是f（a）·f（b）＜0。这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理。

三、图像法

例3函数f（x）=2x|log0.5x|-1的零点个数为（ ）。

A.1 B.2

C.3 D.4

解：令f（x）=2x|log0.5x|-1=0，可得

分别设函数y=g（x）=|log0.5x|和函数在同一平面直角坐标系中画出函数y=g（x）与y=h（x）的图像（简图），如图1所示。

图1

由图1可知，两个函数图像一定有2个交点，因此函数f（x）有2个零点。应选B。

解答本题时，需要把求函数f（x）=2x|log0.5x|-1的零点个数转化为函数g（x）=|log0.5x|与的图像的交点个数来求解，这也是转化与化归思想的具体应用。