■任海涛

函数的零点问题处理有三种方法，即解方程，用定理，画图像。下面介绍函数的零点的常见典型考题，供大家学习与参考。

题型一：函数零点的意义

例1函数y=（x2-2x）2-9的图像与

x轴交点的个数为

解：令（x2-2x）2-9=0，则（x2-2x+3）（x2-2x-3）=0，解得x=-1或x=3，即有2个根。故函数y=（x2-2x）2-9的图像与x轴交点的个数为2。

函数f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根，也是函数y=f（x）图像与x轴交点的横坐标。

题型二：根据零点存在性定理，确定零点所在的范围

例2设x0是方程的解，则x0属于区间（ ）。

A.（0，1） B.（1，2）

C.（2，3） D.（3，4）

解：构造函数

由f（1）＜0，f（2）＞0，可得函数f（x）=的零点属于区间（1，2），即x∈0（1，2）。应选B。

解答本题主要有两个步骤：一是构造函数;二是利用零点存在性定理判断零点所在的区间。

题型三：利用数形结合法，巧解零点个数

例3方程|x2-2x|=a2+1（a＞0）的解的个数是（ ）。

A.1 B.2

C.3 D.4

解：因为a＞0，所以a2+1＞1。画出y=|x2-2x|与y=a2+1的图像如图1所示。

图1

由图1可知，y=|x2-2x|的图像与y=a2+1的图像总有2个交点。应选B。

本题中x是变量，a是常数，函数y=|x2-2x|的图像不在x轴的下方，a2+1＞1是恒成立的。

题型四：已知函数零点个数，求参数的取值范围

例4已知分段函数f（x）=若函数g（x）f（x）=-m有3个零点，则实数m的取值范围是

解：令g（x）=f（x）-m=0，则f（x）=m，画出函数y=f（x）与y=m的图像，如图2所示。

图2

由图2可知，要使函数g（x）=f（x）-m有3个零点，只需y=f（x）与y=m的图像有3个交点，所以0＜m＜1。

已知函数的零点个数求参数的取值范围，可将解析式变形，转化为两个函数图像的交点问题。解答本题的关键是画出函数的图像，应用数形结合法求解。

编者注：本文系阜阳市教科研课题“基于微专题的高三数学复习教学的实践途径和有效性研究”（F J K 18045）阶段性成果。