李建军，黄开胜，武 宁，黄 渠

(广东工业大学，广州510006)

0 引 言

外转子永磁同步电机具有定子在内侧、转子在外侧的特殊结构，同时又具备永磁同步电机体积小、效率高、便于维护等显著特点，因此在通风设备、压缩制冷、风机等方面中有着广泛的应用。在永磁电机中，永磁体与定子齿槽相互作用，产生齿槽转矩。齿槽转矩是一种附加的转矩脉动，虽然对电机平均转矩大小影响较小，但会引起转矩波动、引发振动噪声以及降低电机控制精度等，直接影响电机的运行性能。齿槽转矩在大功率和高性能永磁电机中表现得尤为突出[1]。为削弱永磁同步电机齿槽转矩，国内外专家学者进行了大量的研究，提出了许多方法。其中，在永磁同步电机定子齿冠上开辅助槽是削弱齿槽转矩的较为简单有效的方法之一。

ANSYS Maxwell的参数化分析方法是一种常用的电机优化设计方法，该方法通过将电机参数变量化，对不同参数下的电机模型进行扫描以获取最佳参数。文献[2-4]都使用该方法对电机的单一参数进行了扫描，实现了电机参数的优化。但若将本文中的3个参数取值范围均分为5等份，需要进行125次仿真，若设置为20等份，则需要8 000次。因此，该方法虽然简单准确，但当扫描的参数较多、取值范围较大而又需要得到较好的优化效果时，参数变化步长就需设定为较小值，实验次数将明显增加，耗时增长。响应面法(以下简称RSM)以合理的实验设计为基础，得到一组实验数据，利用多维二次模型拟合各因素以及响应值之间的函数关系，以求得最优值。RSM是一种简单高效的全局最优方法，但是需要寻找各因素与响应值之间的定量规律。但RSM的实验设计时实验次数固定，当因素变化范围过大，函数关系又较为复杂时，由于实验点数过少，该方法存在因素与响应值之间难以拟合或者拟合精度较差导致响应预测值与实际仿真结果误差超出可接受范围等问题。

本文综合考虑了ANSYS Maxwell参数化分析方法和RSM的优缺点，先利用ANSYS Maxwell 2D的参数化分析方法，分析各参数变化时齿槽转矩的变化趋势，作为RSM各因素取值范围的依据，确定一个较小的取值范围，后再应用RSM对辅助槽参数进行优化。以齿槽转矩为优化目标，以辅助槽偏移角度、槽深、槽宽为优化变量，对辅助槽参数进行寻优，得到优化结果。最后，利用有限元仿真对优化结果进行验证。

1 开辅助槽削弱齿槽转矩的原理分析

本文基于能量法，对开辅助槽抑制永磁同步电机齿槽转矩进行定性分析。首先做出如下假设：

1) 在没有特殊说明的情况下，同一电机内的永磁体形状、尺寸、性能相同且均匀分布[5]；

2) 不考虑饱和的情况；

3) 铁心叠压系数为1；

4) 永磁材料的磁导率与空气相同。

5) 电枢铁心的磁导率无穷大。

在不考虑斜槽时的齿槽转矩表达式如下：

(1)

(2)

式中：θs0为用弧度表示的槽口宽度；δ为气隙长度；hm为磁钢充磁方向长度。

定子齿冠开辅助槽相当于增加了电枢槽数，改变了电机的极槽配合。在对辅助槽削弱齿槽转矩进行研究，为简化分析，假设辅助槽的宽度与电枢槽相同，槽深大小适合且均匀开槽，则可认为辅助槽与电枢槽影响是相同的。当定子齿上有k个槽时，k为偶数时，Gn的表达式如下：

当k为奇数时，Gn的表达式如下：

对比式(2)、式(3)、式(4)能发现，当每个齿上开k个辅助槽时，n为(k+1)的倍数时，Gn的值不为零，此时Gn的值会变为不开辅助槽时的(k+1)倍。反之，当n不为(k+1)的倍数时，Gn的值为零。即n为Np的倍数时，Gn会产生齿槽转矩，反之则不会。因此，为了使齿槽转矩得到削弱，Np需满足条件：k+1≠mNp；当Np=1时，显然无法满足条件，当Np≠1时，本文以12槽10极电机为例，由于k+1≠mNp，Np=2，故k的取值为0，2，4，…，其中k=0为不开槽的情况。

本文从削弱齿槽转矩、便于加工等方面因素考虑，在满足k+1≠mNp的条件下辅助槽数应尽量小，因此选择辅助槽数为2。文献[7-8]利用有限元实验分析了辅助槽的偏移角度、槽深、槽宽对削弱齿槽转矩的效果的影响，并对矩形槽、半圆槽、角型槽3种不同的槽型对齿槽转矩的抑制效果进行了对比分析。分析结果表明，定子齿顶开辅助槽抑制齿槽转矩的效果与辅助槽的偏移角度、槽深、槽宽的取值有较大关系；若选择不当，反而会增大齿槽转矩。同时，有限元实验证明了矩形槽削弱齿槽转矩的效果最为显著，本文选取的辅助槽为矩形槽，选取辅助槽偏移角度、槽深、槽宽作为优化参数。

2 取值范围的确定

2.1 电机模型及优化参数的建立

本文采用12槽10极外转子永磁同步电机，其基本设计参数如表1所示。

表1 12槽10极外转子永磁同步电机参数

ANSYS Maxwell 2D电机仿真模型如图1所示。

图1 外转子电机ANSYS Maxwell 2D仿真模型

上文分析已经确定辅助槽个数为2，槽型为矩形槽，辅助槽参数设置如图2所示。图2中，b代表槽宽，h代表槽深，θ代表偏移角度。为避免因偏移角度过小、槽宽过大，使得两个辅助槽合并为一个，本文中θ表示槽口靠近定子齿中心线的一边与中心线的夹角。

图2 辅助槽参数设置

2.2 削弱齿槽转矩的参数化分析

ANSYS Maxwell是将电机模型中需要优化的参数变量化，仿真软件依照设置好的取值范围和步长逐一仿真，在扫描出的所有结果中找出满意的结果，再得到对应的优化参数。但是，该方法如果设置的变量过多、步长较小，实验次数将明显增多，在多变量、小步长的情况下不够简单高效。文献[7-9]利用ANSYS Maxwel优化辅助槽3个参数时，仿真均采用单一参数逐一进行有限元仿真，得到齿槽转矩的变化趋势，选取各趋势曲线中齿槽转矩较小的点作为辅助槽的参数。这种方法并不能得到优化很好的参数组合，对齿槽转矩的优化效果一般。本文利用参数化分析方法在单变量、大步长下较为简单的特点，得到单一参数变化时齿槽转矩的变化趋势，进而确定一个较小的取值范围。

本文选取参数的取值范围：偏移角度1°～9°；槽宽0.2～3.4 mm；槽深0.2～1.4 mm。当一个参数变化时，另外两个参数保持不变，参数设定：θ=4.5°，h=0.6 mm，b=1.7 mm。本文依据上述设定进行仿真实验，为了便于分析各参数变化时齿槽转矩的变化趋势，将所得实验数据用折线图更直观地表示，如图3所示。

(a) 偏移角度θ

(b) 槽宽b

(c) 槽深h

由图3分析可知，辅助槽偏移角度对齿槽转矩的影响最大。随着偏移角度的增大，齿槽转矩先减小后增大；随着槽宽增大，齿槽转矩先减小后增大；随着槽深的增大，齿槽转矩先增大后减小，但在0.2～0.6 mm区间内变化不明显且齿槽转矩较小。根据以上齿槽转矩的变化趋势，新的取值范围：槽偏移角度3.5°～5.5°；槽口宽度1.8～3 mm；槽口深度0.2～0.7 mm，将以上取值范围作为RSM的取值范围，进行响应面设计。

3 基于RSM的参数优化

RSM是一种利用某种特定实验设计方法得到一组实验数据，采用多维二次模型拟合响应与因素之间函数关系并求得最优解的全局优化方法。文献[10]提出了利用RSM优化辅助槽尺寸，但是未说明因素的取值范围具体如何确定，齿槽转矩仅下降46%，优化效果一般。本文为避免当因素取值范围较大且因素与响应的关系较复杂时，RSM会出现拟合的模型无意义或者优化结果与仿真结果差值较大这一问题，根据ANSYS Maxwell参数化分析方法得到较小的取值范围，利用RSM求取全局最优解。

RSM设计方法常用的有Box-Behnken设计(以下简称BBD)和中心复合设计(以下简称CCD)，但是考虑到CCD设计表是在3水平全因子试验设计的基础上加上中心点和极值点构成的，而BBD所有试验点都不超过立方体边界。若使用CCD，则试验中会出现参数的水平值对应的实际值为负的情况，这与电机仿真的实际不符，故本文采用BBD。

本文利用Design-Expert软件和ANSYS Maxwell 2D，根据BBD模型的设计理论，得到各因素水平表如表2所示，BBD试验安排及有限元仿真结果如表3所示。

表2 试验因素水平表

表3 BBD试验安排及仿真结果

利用Design-Expert软件对有限元仿真数据采用二阶响应模型对变量和响应值之间的函数关系进行拟合，得到二阶回归方程如下：

Tc=+7.48+2.82θ-10.24h-2.20b+

1.92θh+19.56θb-0.033hb+19.03θ2+6.92h2+10.08b2

(5)

式中：θ，h，b都是编码变换后的数值，计算时应根据表2进行变换。为了对拟合函数进行评价，点击Design-Expert中的方差分析(ANOVA)选项。方差分析对模型显示，模型的P值<104，说明拟合度很好；决定因数R2为0.997，大于0.9，说明各因素与响应值有良好的函数关系并且得到了较好的拟合。为了分析各因素变量的交互作用，本文采用Design-Expert生成的等高线图与3D图，如图4～图6所示。

(a) 等高线图

(b) 3D响应图

(a) 等高线图

(b) 3D响应图

(a) 等高线图

(b) 3D响应图

由图4～图6可知，辅助槽偏移角度相对于槽深、槽宽，在变化时对齿槽转矩的影响较大，与上文ANSYS Maxwell得到结果的大致相符。通过图4～图6可以观测出，单一参数的最佳取值范围，偏移角度为4°～4.5°；槽深为0.5～0.65 mm；槽宽为2.4～2.6 mm。本文利用Design-Expert软件对二阶回归模型分析求解后，得到最优化参数(θ，h，b)=(4.13°，0.47 mm，2.50 mm)，响应值为6.75 mN·m。利用ANSYS Maxwell 2D对以上参数进行有限元仿真验证，仿真得到的齿槽转矩峰值为6.28 mN·m，相对于优化前的齿槽转矩峰值51.89 mN·m，下降了87.9%。优化前后齿槽转矩的对比图如图7所示。

图7 开槽前后齿槽转矩对比

4 结 语

本文采用定子齿开辅助槽的方法削弱一款12槽10极外转子永磁同步电机的齿槽转矩。为确定辅助槽尺寸的最佳参数，研究了结合ANSYS Maxwell 2D参数化分析方法和RSM相相结合的方法，既避免了ANSYS Maxwell 2D参数化分析方法在优化辅助槽参数时仿真实验次数过多的缺点,又克服了RSM在变量取值范围大、交互关系复杂时难以有效拟合的缺点。利用该方法，本文在仿真次数较少的情况下实现了对辅助槽参数的有效优化，仿真结果表明，齿槽转矩下降了87.9%，证明了该方法的有效性。