赵焕祯，韩亚芳，杨震，刘子希，马骕

(1.青岛市勘察测绘研究院，山东 青岛 266033； 2.青岛市自然资源和规划局，山东 青岛 266011；3.海陆地理信息集成与应用国家地方联合工程研究中心(青岛)，山东 青岛 266033)

1 引 言

地壳运动应变分析需要构建客观真实的地壳应变场，但是实际工程测量中很难做到用均匀的监测网进行监测，也很难做到分析区域观测时间上的同步性、观测仪器及手段的一致性，从而导致检测得到的应变资料具有空间尺度、时间尺度以及系统的差异性。尺度差异性的存在使应变场出现空值区或高值区，严重降低了地壳应变场的客观真实性。因此为了克服应变观测资料尺度上的相对性，必须对应变值进行统一归算，以利于客观真实地表达地壳应变场的空间分布特征。

通过对川滇地区1999年～2004年GPS观测数据进行分析，实验得出不同尺度的应变值在均值以及离散程度上具有明显的系统差异，即地壳应变值与计算尺度存在显著的相关性，而这种差异在数理统计中表现为数学期望值以及方差。不同尺度归算在统计学中表现为将计算尺度的应变值的均值和均方差归算到标准尺度上，在不破坏原始数据所反映的应变场空间分布的非均匀性的前提下，削弱或消除不同尺度应变值对求解区域应变场的影响。利用不同手段得到的观测数据、不同观测时间的数据、监测网密度分布不均匀的数据进行求解区域应变场前都需进行尺度的统一归算，并且幂指数归算模型具有客观、可靠性。

2 有限元法求解应变场

地壳应变分布具有局部多样性的特征，因此求解应变场时不能将应变场视为均匀场。目前主流方法有两种：一种是将地壳应变视为多个不连续的相互作用的块体系统的变形；另一种是将地壳应变视为连续的物理体进行数值模拟。第一种方法的优点是可以有效地对各块体的整体运动进行分析，但无法表达块体区域内部的应变。第二种方法则可以有效地对区域内的应变进行表达，其中最具有代表性的便是有限单元应变分析法。

本文研究需分析区域内的精细化应变特征，因此采用了有限元法进行地壳应变场的求解，其基本原理为将分析区域分割成为一些有限小的三角形区域，并对各三角形区域进行应变值求解，该三角形单元内的单位应变值代表该区域的单位应变值。三角形有限单元格边界的选择对保证研究目的区数值结果的可靠性至关重要。本文基于川滇地区GPS观测数据进行分析，综合兼顾GPS的点位分布，以实际构造线的走向来确定单位边界，用点位来约束有限单元的边界。既充分利用了有限的点位数据，又精确有效地反映出了局部的细节应变，提高了应变场的客观真实性。

3 不同尺度应变的分布特征

为了更好地反映出不同尺度应变值的分布特征，宜选取形变量变化较大的区域的速度数据，以避免变形量太小信噪比太低从而造成数据结果不具有代表性的问题。因此，我们选取川滇地区1999年～2004年的观测资料进行分析，来研究不同尺度应变的分布特征。

3.1 选取川滇地区GPS数据依据

川滇活动地块是中国大陆地震活动最强烈的地区之一，具有很强的构造活动性，块体内部应变复杂显著，区域变化大，区域内GPS监测点分布较多且不均匀，是研究应变归算最理想区域。GPS点分布越密集越能显示出比较精细的应变特征，这也能更好地反映出不同尺度应变值的空间分布特征。这便是我们选取该地区作为研究样本的原因。由川滇地区1999年～2004年的观测资料求出该地区的速度场的分布以及GPS测点分布如图1、图2所示。

图1 川滇地区速度场

图2 川滇地区GPS测点分布

如图1和图2知，速度矢量(大小及方向)在东经97°～103°区域变化较大，而在东经103°～106°区域速度矢量的变化较小，而如图1图中北部地区和南部地区相比较，速度方向的变化也比较大。很好地与实际的地质构造相契合，同时GPS点位分布也不均匀，采用这样的数据来分析不同尺度的应变变化规律，可以有效地提高信噪比，其结果也具有更高的可信度。

3.2 以川滇地区GPS观测数据为例分析应变分布特征

为了揭示三角形单元应变值与其尺度之间的相关性，首先将川滇地区观测资料根据点位分布直接构成320个三角形单元，然后再将点位分布间距更远的点构成20个三角形单元。用这340个不同尺度的应变值作为样本进行分析。将最大剪应变与单元尺度为横、纵坐标，得到最大剪应变-图形尺度分布图，并对离散分布点进行非线性回归，如图3所示。

图3 川滇地区1999年～2004年最大剪应变-图形尺度分布

回归方程为：

F(d)=16.81×d-0.2652

(1)

式中，应变值数值单位取10E-8，d为计算图形尺度(单位为km)，取d=sqrt(s)(S为计算图形面积)。由图3可知最大剪应变的分布满足幂指数衰减的关系。应变的计算结果与三角形单位的面积具有相关性，一方面高值点基本分布于图形尺度较小的区间；另一方面图形尺度较小的区间应变值分布更离散，量值的变化幅度更大。然而由于GPS点位分布较为密集图形尺度相对而言集中分布在 50 km左右，并不能较好地说明其数学统计关系，因此我们将尺度相近的点取平均值来降低小尺度三角形单元的密度。

为了更好地反映应变值的衰减趋势，将三角形单元尺度在 30 m～70 m范围内的最大剪应变，每4个尺度相近的最大剪应变取平均值，共得到142个最小图像单元，重新得到的最大剪应变-图形尺度分布图(如图4所示)。

图4 川滇地区1999年～2004年最大剪应变-图形尺度分布(处理后)

回归方程为：

F(d)=23.1×d-0.3314

(2)

由图可知应变值随着尺度的增大而衰减趋势更加明显，图3与图4的差异原因在于前者大尺度三角形单元所占比例太少，而小尺度图形单元所占比例较大，且由GPS速度场可以看出，相当一部分点分布在速度矢量变化很小的地区。因此，倘若有更多的数据，更广泛的分布区域，应变值随尺度的变化越符合幂函数衰减趋势。

为了进一步分析这种衰减趋势的特征，我们再将尺度相近的每5个三角形单元的最大剪应变取平均值，并计算每一组的均方差，将每一组的均值和均方差作为样本点进行非线性回归。如图5和图6所示。

图5 最大剪应变均值-图形尺度分布

图6 最大剪应变均方差-图形尺度分布

最大剪应变均值的回归方程为：

F(d)=25.03×d-0.3523

(3)

最大剪应变均方差回归方程为：

F(d)=13.61×d-0.3314

(4)

由图5和图6可知，应变值的均值和均方差随着图形尺度的增大呈幂指数衰减的趋势，并且这种衰减趋势的离散程度也越来越小，这为我们可以采用幂指数函数模型进行不同尺度应变值的统一归化提供了理论依据。为了更具有说服力，下面给出川滇地区1999年～2004年东西向应变、北东向剪切应变、南北向应变与图形尺度的分布关系，如图7～图10所示。

分析以上4种应变，每种应变正负部分都分别符合幂指数衰减趋势(负值以其代数值)，又因为各种不同应变的同源性，不难得出其均值与均方差也呈指数衰减趋势。

图7 东西方向应变-图形尺度分布

图8 南北方向应变-图形尺度分布

图9 北东向剪应变-图形尺度分布

图10 面应变-图形尺度分布

4 不同尺度应变归算方法

4.1 应变归算理论方法

由以上川滇地区应变值的分析得出，不同尺度应变值的均值和均方差均有显著的偏差，这种偏差是由于尺度的变化引起的，因此可采用将一般正态分布化为标准正态分布的方法对不同尺度的数据进行归一化。

(7)对不同尺度的应变分布，可表示为：

T1=N(u1，σ1)

T2=N(u2，σ2)

(5)

标准化后：

(6)

(9)尽管变量标准化可以将不同尺度的应变值进行统一化归算，达到均值与方差的相对一致性，但同时也破坏了应变值所具有的描述区域地壳应变的物理意义。因此，在式(6)增加一个加常数和一个乘常数，得到：

(7)

式中u0为归算标准尺度的应变值的均值，σ0为归算标准尺度的均方差。通过数理统计将不同尺度值应变值之间的关系对应起来，经过归算后不同尺度的应变值便具有了统一的量化标准，即标准尺度。实际上不同尺度应变值具有正负性，故应变归算公式可表示为：

(8)

4.2 应变归算理论方法

由以上理论方法，将川滇地区1999年～2004年的应变值进行归算。为了更好地验证前面应变值随尺度变化的规律及归算对其的影响。首先对最大剪应变值进行归算，将计算得到的最大剪应变统一归算到 55 km的尺度上，另外为了更加具有说明性，直接使用测得的所有数据进行归算。并用不同的计算方法得到应变值的分布从而进行对比分析。归算后最大剪应变值-尺度分布如图11所示。

图11 最大剪应变-图形尺度分布(归算后)

回归方程为：

F(d)=6.501×d-0.005575

(9)

由回归方程可知，归算后幂指数的系数基本趋近于零。这说明不同尺度的均值归算后近似趋于一致性。离散程度也趋于一致。这说明用上文中提到的方法进行归算，有效地避免了相对密集的区域称为高值区。对集中于小于 55 km尺度范围的应变值有不同程度的减小，而对大于 55 km尺度范围内的应变值有不同程度的增大。使计算尺度的均值和均方差近似等于标准尺度的均值和均方差，即将计算尺度归算到了标准尺度的标准。为了探讨其合理性我们将归算前后的最大剪应变分布分别给出，如图12(a)和图12(b)所示。

图12 最大剪应变分布

(注意：最大剪应变为非负值，故图中零值线及其以外是无意义的，从图1b可知在这些地区并没有GPS测点分布，因此无法得到应变值，即零值线以外无实际意义)

对图12(a)进行分析，由于所采用的GPS测站相对“三江”断裂及鲜水河-小江断裂带等断裂带地区测点分布相当密集，观测边长相对较小，因此最大剪应变高值分布区域较多。该地区中部测点分布较高值区稀疏一些，高值分布不明显，当然这也与该地区实际的地形有关。与归算后的最大剪应变比较(图12(b))，归化处理前后最大剪应变的分布趋势基本一致，大多数高值区的位置基本上没有变化，只是量值或梯度有所降低。本文以 55 km尺度作为标准尺度进行归算，可以明显看出处于小于 55 km尺度范围内的应变值，其量值得到了不同程度的抑制，即图中三个高值区有较为明显的减小趋势。而处于大于 55 km尺度范围内的应变值，有不同程度的增强，即低值区域有较为明显的增强趋势。总体上呈现小尺度应变值减弱，较大尺度应变值增大的总体趋势。这说明是经尺度归算后应变值的空间尺度的差异明显性降低，很好地把不同尺度的应变值归算到标准尺度。

为了说明归算的合理性和适用性，下面给出用以上方法求得川滇地区1999年～2004年最大剪应变、面膨胀、东西向应变、北东向剪切应变、南北向应变归算前后的分布伪彩色图，如图13～图17所示。

图13 最大剪应变分布

(注意：最大剪应变为非负值，负值是无意义的，从图2可知在这些地区并没有GPS测点分布，因此无法得到应变值，用matlab绘图时使用了插值，造成图中蓝色区域无实际意义。)

图14 面膨胀分布

图15 东西方向应变分布

图16 南北方向应变分布

图17 北东剪应变应变分布

对图13～图17归算前后的应变进行分析，归算前后应变特征(上述应变特征)的空间分布基本保持一致。高值区(小尺度应变值区域)的区位大都未发生改变，但量值有所降低；低值区(大尺度应变值区域)的区位同样大都未发生改变，但量值却出现增强的趋势。无论是最大剪应变、面膨胀、东西向应变、北东向剪切应变还是南北向应变总体上都呈现小尺度应变值减弱，较大尺度应变值增大的总体趋势。而归化后的应变值与实际地形分析有较好的符合性，经过尺度归算后应变值空间尺度所引起的差异性明显性降低，很好地把不同尺度的应变值归算到标准尺度，更有利于地壳应变场的空间分布表达。

5 结 论

通过对川滇地区1999年～2004年GPS观测数据处理与分析表明，地壳应变值的统计量与三角形单元空间尺度具有很强的幂指数相关性。随着观测资料空间尺度的增大，其相应的应变值呈幂指数衰减的趋势。当利用地形变观测资料求解的应变场时，不能忽略其尺度相对性，应当对应变值进行统一的尺度归算。不同尺度的应变归算对直接计算应变值的影响程度取决于不同尺度应变值的差异性，而借助前面提到的幂函数非线性回归，则可以提高归一化处理的客观可靠性。归化标准的建立也需要具体地区具体分析。通过本文所述尺度归算方法较好地削弱了尺度变化对应变值结果的影响，有效提高了应变场的真实性表达。需要注意的是，本文实验分析主要是从空间尺度进行讨论，尚未涉及时间尺度和观测仪器差异的影响，仍待日后更多的实验验证。