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赋Orlicz范数的Orlicz序列空间的k一致凸点

2019-10-28段丽芬杨德清陈洪亮

通化师范学院学报 2019年10期
关键词:范数线性定理

段丽芬,杨德清,陈洪亮

自1979年,Sullivan[1]引入局部k一致凸的概念以来,因其不但与空间的自反性、超自反性和正规结构等理论密切相关[2],而且在逼近论等领域有重要应用得到关注[3-6].同时,针对Orlicz函数空间而言,与其相应的点态性质的刻画都已获得[7-8].赋Luxemburg范数Orlicz序列空间的k一致凸点判据也已查明[9].本文对赋Orlicz范数Orlicz序列空间的k一致凸点展开研究,得到了赋Orlicz范数的Orlicz序列空间的k一致凸点的判别准则.

1 预备知识

设X是Banach空间,X′是其共轭空间,S(X)表示X的单位球面.

定义1[7]x(0)∈S(X)被称为k一致凸点是指若则其中

如果S(X)上每一点都是k一致凸点,则称X是局部k一致凸的.

定义2[4]若非负函数M是偶的连续凸函数,并且满足则称映射M:R→[0,∞)为N-函数.

用M(u)、N(v)表示一对互余的N-函数,p(u)为M(u)的右导数.M∈Δ2指存在常数c>0,使得M(2x)≤cM(x)对较小的x成立.M∈∇2⇔N∈Δ2.称闭区间[a,b]为M的线性区间是指M在[a,b]上是线性的,但对任何ε>0,M在[a-ε,b]和[a,b+ε]上都不是线性的.用{ }[ai,bi]i表示M的线性区间全体,记

定义p-(v)为:p-(0)=0,p-(v)=sup{p(u):0≤u<v}(v>0).线性集

2 主要结果

定理1设M是N-函数,是k一致凸点的充要条件是:

(i)M∈Δ2⋂∇2;

这里h0满足

证明 必要性.因k一致凸点必为k强端点,利用文献[10]的定理1和定理3,只需证明M∈∇2及(ii)之(1)和(2)式即可.

首先证明M∈∇2.若不然,则存在正数列vn↓0,满足

取正整数mn,使得mnN(vn)≤1/nk<(mn+1)N(vn).因M∈Δ2,可找到足够大的in,使得

但由于对一切l=1,2,…,k,都有

其次证明(ii)之(1)式.若不然,则存在h0∈H(x(0))和j∈N,使得,但

这里[a,b]为M的线性空间.文献[4]定理1.80指出,v∈LN是x(0)的支撑泛函的充要条件是ρN(v)=1 ,且

因此

但可取f(s)∈lN(s=1,2,…,k),使得

产生矛盾.(ii)之(2)式可类似证得,不再赘述.

因M∈Δ2⋂∇2,所以自反,的有界元列存在弱收敛的子列,仍记为,设因M∈Δ2,则具有H性 质 ,进 而,且

考虑到A(x(0),x(1)n,…,x(k)n)的连续性及(4)式有

若记h=,其中h0∈H(x(0)),hl∈H(x(l))(l=1,2,…,k),则

于是,对一切i∈N,都有

故对一切i∈N,h0x(0)(i),h1x(1)(i),…,hkx(k)(i)都在M的同一线性区间.

有非零解,记为(s0,…,sk),便有

当μ{i∈N:h0x(0)(i)∈RSM}≤k-1 时,可假定I={i∈N:h0x(0)(i)∈RSM}={1,…,k-1}. 则当i≥k时,因h0x(0)(i),h1x(1)(i),…,hkx(k)(i)都在M的同一线性区间,可类似文献[11]分四种情况 推知h0x(0)(i)=h1x(1)(i)=…=hkx(k)(i)(i≥k).结合齐次线性方程组

也有非零解(s0,…,sk),便有这说明无论条件中的哪种情况成立,都可得到线性相关的结论,从而A(x(0),x(1),…,x(k))=0,与(5)式产生矛盾.

由定理1立即可得定理2.

定理2设M是N-函数,l0M是局部k一致凸的充要条件是M∈Δ2⋂∇2且M在[0,πM(1/k)]上严格凸,其中 πM(α)=inf{t>0:N(p(t))≥α}.

3 结论

论文给出了由N-函数生成的赋Orlicz范数的Orlicz序列空间的k一致凸点的一个判别准则,进而得到了该空间局部k一致凸的一个充要条件.

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