谢俊宇

[摘  要] 2018年全国1卷第17题解三角形试题，题目简洁颇具亲和力，但解答视角多样，平凡中不失对数学核心素養的考查. 由此也引发了高中解三角形的常见处理策略的思考. 文章从解三角形常见问题（边长、周长、角度、面积、最值）出发，通过实例阐述正弦定理、余弦定理、几何法（构造直角三角形）及坐标法，试图多角度反思，培养学生思维的灵动性，最后提出核心素养背景下解三角形教学的几点思考.

[关键词] 解三角形;正弦定理;余弦定理;构造直角

解三角形问题是高中数学的一个重要内容，更是全国卷高考试题中不可或缺的命题考查点，通常都是借助正弦定理或余弦定理处理问题. 正弦定理、余弦定理如何运用？对于非直角三角形通过恰如其分地作垂线可以构造出直角三角形，可以将解三角形问题转化成直角三角形问题处理. 如何构造直角，巧妙在哪里？解三角形的常见策略又有哪些？笔者通过具体实例进行阐述.

边长及周长问题

例1：（2018届广东二模理科数学第17题节选（1））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，c=8. 若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM= BC， =2 ，求AM的值.

解析：如图1，设BM=x，则MN=x，AN=2 x，在△ABN中由余弦定理可得cos60°= = ，化简整理可得x2+2x-8=0，故x=2，故BN=4，AN=4 ，所以BN2+AN2=AB2，因此∠ANB=90°，AM= =2 .

点评：三边关系已知，通常采用余弦定理处理，但关注到勾股定理会让运算更简洁.

例2：（2017全国1卷理17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 .

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

解析：（1）由题意可得S△ABC= acsinB= ，即 csinB= ，由正弦定理可知a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，故 sinCsinB= ，所以sinBsinC= .

（2）因为sinBsinC= ，cosBcosC= ，所以cosBcosC-sinBsinC=- ，于是cos（B+C）=- . 又△ABC中π-A=B+C，故cos（π-A）=cos（B+C）=-cosA，所以cosA= . 因为A∈（0，π），所以A= . 由余弦定理可得cosA= = ，即b2+c2-bc=9. 又S△ABC= bcsinA= ，所以bc=8，于是（b+c）2-3bc=9，所以b+c= ，故△ABC的周长为a+b+c=3+ .

点评：本题灵活考查三角形面积公式和两角和的余弦公式，尤其是第2问给出的已知需要及时联想到余弦公式才能破解. 从这里，我们会发现死记硬背公式是不行的，公式需要理解，更要灵活运用，但百变不离公式本质.

三角形的面积问题

例3：（2018届佛山二模理科数学第17题（1））如图2，平面四边形ABCD中，∠ABC= ，AB⊥AD，AB=1.若AC= ，求△ABC的面积.

解析：方法1：借助已知角，余弦定理求边长.

设BC=x（x>0），在△ABC中由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC，即x2+ x-4=0，解得x= 或x=-2 （舍去），所以△ABC的面积为S△ABC= AB·BC·sin∠ABC= ×1× × = .

方法2：利用三角形两边，正弦定理求夹角.

设∠ACB=θ，在△ABC中由正弦定理可得 = ，即 = ，所以sinθ= . 又θ∈0， ，所以cosθ= ，在△ABC中，sin∠BAC=sin（∠ABC+θ）=sin +θ= ·（cosθ-sinθ）= ，因此S△ABC= AB·AC·sin∠BAC= ×1× × = .

方法3：作垂线，构造直角三角形.

如图3，过点C作AB延长线的垂线，垂足为E，假设BE=x（x>0），由题意∠ABC= ，则∠CBE= . 在Rt△BEC中，EC=BE=x. 在Rt△AEC中，∠AEC= ，AE=1+x，EC=x，AC= ，根据勾股定理可得（1+x）2+x2=5，解得x=1，x=-2（舍去），因此x=1，S△ABC= AB·EC= ×1×1= .

例4：（2017年全国3卷理科数学第17题节选（2））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2. 设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.

解析：方法1：借助已知角，余弦定理求边长.

在△ABC中，由sinA+ cosA=0得cosA=- ，A= . 由余弦定理可得cosA= =- ，解得c=4. 由余弦定理可得cosC= = = . 又AD⊥AC，所以在Rt△ACD中， = = ，所以CD= ，AD= = ，故S△ABD= AB·ADsin∠BAD= ×4× ×sin = .

方法2：作垂线，构造直角三角形.

如图4，过点B作CA延长线的垂线，垂足为E，由方法1知A= ，所以∠BAE= ，∠ABE= . 在Rt△ABE中，AE=AB·sin =2，BE=2 . 又AD⊥AC，故△ACD～△ECB， = = ，故AD= ，S△ABD= AB·ADsin∠BAD= .

方法3：关注几何关系，巧妙转化.

因为S△ABD= AB·ADsin ，S△ACD= AC·AD，所以 = ，即 = =1，所以S△ABD=S△ACD= S△ABC. 又S△ABC= AC·AB·sin =2 ，因此S△ABD= .

点评：常见的三角形面积公式有S△= ah= absinC，抓住计算公式中的基本量方能求解. 学生在解题中潜意识地默认使用高中面积公式S△= absinC，然后专心挖掘正弦定理或者余弦定理（如上述两个例题方法1和方法2），而对于初中常用的面积公式S△= ah有所忽视. 通过上述两个例题的多种解法不难发现善于作垂线，将非直角三角形转化为直角三角形处理这一思路可以简化计算流程，更呈现思维的灵动. 特别地，例题4方法3充分利用几何关系，巧妙转化也是解三角形的一种新颖思路.

三角形的角度问题

例5：（2018届佛山二模理科数学第17题）平面四边形ABCD中，∠ABC= ，AB⊥AD，AB=1. 若∠ADC= ，CD=4，求sin∠CAD.

解析：方法1：正弦定理，利用方程组思想.

设∠CAD=α，则∠ACD= -α，∠ACB=α- ，在△ABC中，由正弦定理可得 = ，即 = （1）;在△ACD中，由正弦定理可得 = ，即 = （2）.由（2）÷（1）式可得 = ，化简整理可得sinα=2cosα，又α∈0， ，sin2α+cos2α=1，解得sin2α= . 因为sinα>0，所以sinα= .

方法2：作垂线，构造直角三角形.

如图5，过点C作AB延长线的垂线，垂足为E，过点C作直线AD的垂线，垂足为F. 假设BE=x（x>0），由题意∠ABC= ，则∠CBE= . 在Rt△BEC中，EC=BE=x.在Rt△AEC中，∠AEC= ，AE=1+x，EC=x，AC= ，根据勾股定理可得（1+x）2+x2=5，解得x=1，x=-2（舍去），因此x=1. 又四边形AECF为矩形，所以AF=CE=1.在Rt△DCF中，∠ADC= ，CD=4，故CF=2.在Rt△ACF中由勾股定理可得AC= = = ，所以sinα= = .

点评：正弦定理或者余弦定理是解决角度问题的首选，而充分借助图形中的已知角（边）作垂线，构造直角三角形也不失为一种训练思维，培养几何直观素养的方式.

三角形中的最值问题

例6：（2014全国1卷理16）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为________.

解析：方法1：余弦定理，将面积转化为边长，用重要不等式求最值.

依题意，根据正弦定理可得（2+b）·（a-b）=（c-b）c，即b2+c2-a2=bc. 由余弦定理可得cosA= = ，又A∈（0，π），所以A= ，于是S△ABC= bc·sinA= bc. 又b2+c2=bc+4≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），所以bc≤4，S△ABC= bc≤ ，此时a=b=c=2，△ABC面积的最大值为 .

方法2：正弦定理，将面积转化为角，根据三角函数有界性求最值.

根据方法1可知A= ，由正弦定理可得 = = = ，因此b= sinB，c= sinC，S△ABC= bc·sinA= sinBsinC. 又B+C= ，故0

例7：（2018年福建省质检理科数学第16题）在平面四边形ABCD中，AB=1，AC= ，BD⊥BC，BD=2BC，则AD的最小值为________.

解析：方法1：正弦定理和余弦定理，将边化为角，利用三角函数有界性求最值.

如图6，设∠BAC=θ，∠ABD=α，则∠ABC=α+ . 在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC，

即BC2=6-2 cosθ;由正弦定理可得 = ，即 = ，所以BCcosα= sinθ. 在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosα，又BD2=4BC2=24-8 cosθ，且BD·cosα=2BCcosα=2 sinθ，因此AD2=25-8 cosθ-4 sinθ=25-20sin（θ+φ0），其中cosφ0= ，sinφ0= ，所以当sin（θ+φ0）=1时，即sinθ= ，cosθ= 时，AD2取得最小值5，因此AD的最小值为 .

方法2：建立平面直角坐标系，代数化处理.

如图7，以B为原点，以 为x轴正方向建立平面直角坐标系xOy，则A（-1，0），又CA= ，故可设C（ cosθ-1， sinθ），BC=r，则C（rcosθ，rsinθ）. 因BD⊥BC，BD=2BC，所以D2rcosθ+ ，2rsinθ+ ，即D（-2rsinθ，2rcosθ），于是xD=-2yC，yD=2xC，所以xD=-2 sinθ，yD=2 cosθ-2，因此AD2=（-2 sinθ+1）2+（2 cosθ-2）2=25-20sin（θ+φ0），其中cosφ0= ，sinφ0= ，所以当sin（θ+φ0）=1时，即sinθ= ，cosθ= 时，故点C（1，1），D（-2，2），AD的最小值为 .

点评：上述两个例题的解法表明，解三角形中的取值范围问题，首先需要通过正弦定理或者余弦定理将所求量（边长、周长、面积等）表示成为某个角的三角函数或者某边长问题，然后借助三角函数的有界性或者不等式、导数进行范围求解.

教学启示

1. 观念引领，善于作垂线，构造直角三角形，巧妙处理三角形问题. 解三角形问题在高中数学阶段通常习惯于运用正弦定理或者余弦定理作为处理问题的工具，忽视了构造直角三角形的作用.通过文中的阐述不难发现，作垂线构造直角三角形有着简化计算的效果，给人一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉. 因此，在解三角形时需要特别关注图形，善于作垂线，构造直角三角形，强化数形结合思想.

2. 视角多维，多角度反思，让学生思维真正实现灵动. 解决数学问题需要一定的解题经验，数学的经验从何而来？这就需要平时解题中的逐渐反思和多角度思考问题. 反思可以优化解题思路，简化解题过程，同时也需要勤于动脑经和舍得花时间训练. 如文中所述例题解答方法多样，但过程的繁简却又差别不一，有的解法确实是让人感受到思维的灵动感.思维的灵动不可强求，但可以通过不断多解反思逐渐积累.

3. 掌握通性通法，培养几何直观想象、数学建模及运算素养. 数学问题的解答途径可能多种多样，可有时却因选择太多而不知路在何方. 因此，在培养数学解题能力的时候更应该关注题目涉及的数学模型以及解决该模型的通性通法. 正弦定理和余弦定理是高中解三角形的常见工具，构造直角三角形可以为解三角形增添活力，不应刻意追求. 当然，无论选择哪種途径，数学最后都在运算中得到落实，因此必须加强学生运算素养的培养和提升.

4. 思考有深度，才可以使得分析问题有着明确的思路，不同于死搬硬套. 观察表象，思考本质，“多考一点想法，少考一点算数”，正是核心素养导向的命题特色. 我们知道，思考的深度很大程度上取决于思维的习惯、观念的引领，所以教学中要加强概念的理解，重视体验知识的发生、发展、形成的过程，组织学生进行探究活动、实践操作和动手实验，鼓励学生多视角思考，发挥学生自身的主观能动性，自己能通过思考、分析、展示、实践、构建、创造等方式，从而体会学习数学的成就感和幸福感.

成熟的方法思路固然重要，但是让学生能有所思考，能将实际问题和所学的知识联系起来，这种观察联想的能力也是我们急需的东西，不能因为解决过程烦琐或者没有将问题解决而就去否定它，而是看到它长远的作用：观念的引领和深度的思考能让他们对问题有自己的认识，观察联想和多视角分析的思维习惯能让他们变得更加睿智. 在核心素养背景下的数学教学更应该用观念引领，多视角思维，注重学生活动，让素养在实践中开花结果.