李新宇 王艺

摘要：在完备的b-度量空间中，利用Picard迭代的方法，证明了一类特殊的压缩型映射不动点的存在性和唯一性。

关键词： b-度量空间;不动点;压缩映射

1.引言

不动点理论是非线性分析发展的重要课题之一，1922年，Banach在完备的度量空间中证明了著名的Banach压缩映像原理。其后，关于不动点理论的研究集中在完备的度量空间中。1993年，Banach[1]和Czerwik[2]提出b-度量空间的概念，并在此空间证明了压缩映射存在着唯一不动点。1993年，Vasile[3]推廣了Banach和Czerwik的结果，证明了在完备的度量空间中一类压缩型映射的不动点唯一。2013年，Mehmet和Hiikmi[4]研究了Kannan[5]型和Chatlerjea[6]型压缩映射的不动点问题。在完备的b-度量空间中，利用Picard迭代的方法，证明了一类特殊的压缩型映射不动点的存在性和唯一性。

2.预备知识

定义2.1[4]设X是一个非空集合，映射X×X→R+，对满足：

① ② ③

则（x，d）是一个b-度量空间。

定义2.2[4]设（X，d）是一个b-度量空间，X上的序列{xn}叫柯西序列，当且仅当如果对任意，存在N，对任意，有.若柯西序列收敛，则b-度量空间完备。

定义2.3[4] 设E是一个任意集合，T∶E→是一个自映射。对任意的，序列，，，称为从初始值x0开始的Picard迭代序列。

3.b-度量空间中的不动点定理

定理3.1 设（X，d）是一个系数s≥1的完备的b-度量空间， T是X的自映射，满足

其中h∈（0，1）的常数，hs∈（0，1），则存在唯一的一点x*，使得。

证明 令x0∈X且定义为X中的序列，满足，

由T可得，使

由于h∈（0，1），显然上式中最大值为d（x0，x1），所以

同理得。下证为柯西序列，令m>n>0，则

当n，m趋近于∞时，xn与xm之间的距离趋近于零，故该序列为柯西列。

设次序列收敛于.下证x*为T的不动点

若上式中最大值为则

由序列收敛于x*，所以x*与xn+1之间的距离趋近于零。又，……