杜薇 陕西省西安中学 陕西西安 710018

数学建模是数学核心素养之一，将数学建模应用到高中数学教学中，不仅能够调动学生学习的积极性，拉近数学学习和实际生活间的关系，而且还能够锻炼学生在问题分析和解决方面的能力，促进学生学习能力的提升。由此可见，数学建模在高中数学教学中发挥着重要作用。以下通过设计双曲线及其标准方程这节课，来具体说明在上课过程中如何渗透数学建模思想。

课题：双曲线及其标准方程

教学目标：

①知识与技能：理解巧曲线推导过程及掌握其标准方程。

②过程与方法：在教学中，让学生体会到数学建模过程。

③情感态度与价值观：通过这节课，使得学生的空间想象、实践能力及运算能为，同时也提高了同学们对于数学学科的兴趣。

教学重难点：

①重点：掌握并且理解双曲线的标准方程。

②难点：理解建立模型的过程。

教学方法：探究合作法。

教学用具：三角板。

教学过程：

(1)复习

教师提问：椭圆的定义是什么？我们上节课是怎样得到椭圆的方程的？

（注：通过回忆以上的知识和椭圆形成的过程，让学生再次体会数学建模的过程，也为这节课通过数学建模形成双曲线的概念做好铺垫.)

(2)讲授新课

①思考题

两定点的距离差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？

（设置这个问题可以让学生与椭圆的定义形成鲜明的对比，前者是两定点间的距离之和为定值，后者是两定点之间的距离之差为定值，很容易引发学生去积极的思考。）

②动手实践

让同学们拿出来课前事先准备好的教具，让同学们自己动手实践。拿出准备好的教具，把拉链拉开一段，在它拉开的两边分别选择出2个点，将这2个点依次粘在画板上，分别将这2个点记为F1F2将笔尖放在拉链的开口处，将开口处记为M，且M到F1的距离减去M到F2的距离之差为2a，点F1和点F2之间距离为2c，当拉链慢慢的张开和合拢，此时画出的轨迹是一条双曲线。如图：

而且这条曲线满足

如果使点到距离减去到的距离之差为，我们就可得到另外一条曲线，而送条曲线的满足

学生做完之后，教师在黒板上演示和几何画板上进行动画演示，让学生对照自己的实验过程，再一次体会双曲线形成的过程。

接下来抽象出双曲线的图形（模型的建立）

（注：通过以上教学过程，同学们刚开始对双曲线是感性认化然后上升到理性认识，而且将这个实际操作过程转化成一个数学模型，再次可以体会建模的过程。）

(3)双曲线的标准方程

根据以上的实验过程得

① 型的建立

建立如图的直角坐标系，以点F1，点F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，点求：双曲线的标准方程。

②模型的求解

由已知条件得

(4)例题示范

例 现在有A、B两个侦测所，两个侦测所之间的距离为1000m，远处有一个炮弹暴炸，A侦测所听到的爆炸声比B侦测所听到的爆炸声时间晚了2s,声音的速度为340m/s,求炮弹爆炸点所在的曲线的方程。

解 ①模型建立

建立如图所示的直角坐标系，以A,B两点的所在的直线为x轴，以线段AB的中点O为原点建立直角坐标系，已知，点M是爆炸点，求点M所在的方程。

小结：以上就是与双曲线有关的建模案例，首先通过认真分析题目，再建立适当的数学模型，发现可以归为双曲线的问题，最后进行求解。对于学生来说，将应用题转化为数学问题还是有一定难度的，教师在引导学生做这类题目的时候，应该首先带领同学们读题目想表达的意思，再慢慢引导学生将应用题抽象成与数学有关的问题，也就是建模的过程，这个过程是非常重要的。

(5)总结：通过设计双曲线的定义的推导过程，让学生体会对待事物的感性认识要上升到理性认识，也就是从实验过程得到双曲线的准确定义的过程。最后，通过推导双曲线的标准方程的过程和例题的讲解，让学生体会如何将一个应用题抽象为数学问题，其实也就是了解建模的过程。

数学建模的应用在高中数学教学阶段是非常必要的,数学教师应该在教学过程中重视和培养学生在建模方面的能力，让学生能够从题目的数据和变量关系中快速找到问题解决方向，并且利用合适的建模方法建立相应的数学模型，解决问题，不断提升学生数学核心素养，培养学生在问题分析和解决方面的能力，推动高中数学教学的发展。