周方敏

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆 526061）

1概论

一般说来,曲线C:f(x,y)=0将平面分成3个不交的部分,分别是{(x,y)|f(x,y)＞0},{(x,y)|f(x,y)=0}和{(x,y)|f(x,y)＜0}.由不等式组

已知函数表达式求作函数图像,这一知识点在各类数学教材中都有充分介绍,学生也得到了充分训练；但是对于已知“区域表达式”(区域的参数方程)求作区域图像,和从区域图像写出区域的参数方程,各类数学书籍几乎没有涉及,包括国内流行的微积分教材[1]和国际著名的微积分教材[2-5].尤其是极坐标系下重积分的计算,大部分教材只注重讲述数学原理部分,但对于基本计算方法(主要是极坐标系下区域图像与区域方程之间的转换)缺乏具体介绍.而区域的参数方程与区域图像之间的过渡正是重积分计算的关键之处,各类数学书籍对此知识点的疏漏是导致重积分难学的一个重要原因[6-7].

笔者根据多年的教学经验,对此知识点作一归纳总结,旨在辅助二重积分计算的教学,对于一般的区域及其参数方程不做系统深入的研究.本文只讨论边界为封闭的简单凸曲线的单连通区域,其他类型复杂的区域可以分割成这种最简单的区域.对于重积分(不包括反常积分)的计算而言,积分区域是否包含边界并不重要,因此,除非特别指出,对于平面点集D，本文将所有包含D的内部且含于D的闭包的点集看作是相同的.

确定的平面区域D可以分解为由单个不等式所确定的平面区域的交，所以根据不等式组(1)作出D的图像并不困难.

另一方面,根据平面区域的图像求其参数方程(区域参数化),学生比较难以掌握,各类数学书籍也疏于介绍.本文介绍一种易于掌握的“可视化”方法,原理是利用“平行于”坐标轴的曲线网分割区域.简而言之,先取一“平行于”坐标轴的动曲线(直角坐标系下是直线,极坐标系下是圆或射线),保持该曲线与区域相交并将该曲线沿坐标轴方向“平移”,考察在平移过程中动曲线的2个临界位置(得到一对边界)和含于区域内部的曲线段端点的轨迹(另外一对边界),将4个边界的方程求出可得区域的参数方程.在每个坐标系下,动曲线都有2种取法,所以每个平面区域都有2个参数方程,分别对应2种不同的积分次序.

以上方法同样适用于将三维空间区域参数化.三维空间有3种坐标系,但区域参数化的方法相同.步骤是：首先取一个“平行于”坐标面的曲面,保持与区域相交并让它沿坐标面方向“平移”,得到的2个临界位置即区域的一对边界,该动曲面截区域所得的平面区域可用上面的方法再参数化,综合起来可得空间区域的参数方程.

可见,本文提供的方法可以统一处理所有情况下区域的参数化问题,而现行微积分教材对此问题的处理方法讲述得都很隐晦.

2 直角坐标系下平面区域的图像与参数方程

例2在平面上作出点集D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤x2}的图像.

图1 例2的图像

分析这是比较典型的积分区域.点集表达式中有4个不等式,分别对应区域的4个边界.作图步骤如下：

1)先作出曲线x=0,x=2,y=0,y=x2的图像；2)分别确定 0≤x,x≤2,0≤y,y≤x2所表示的4个区域；3)取4个区域的交集即为所求的图像,见图1.

实际问题中出现的区域一般都告知由若干条曲线围成,这时需要写出区域的参数方程,只有参数方程才可用于计算二重积分.平面区域都有4个边界；都有2个参数方程（分别看作X型区域和Y型区域）.

例3[8]142如图2,设区域D由抛物线y2=x和y=x-2围成,求D的参数方程.

图2 例3的图像

分析区域D可以写成{(x,y)|y2≤x≤y+2},但这不是区域的参数

例1 直线y=ax+b将平面分成3个部分,这3个部分的方程分别是y=ax+b,y＞ax+b和y＜ax+b.类似地,抛物线y=ax2+bx+c和圆x2+y2=1也将平面分成3个部分,只需要将方程中的等号换成大于号和小于号即可得到另外2个部分的方程.

这一知识点在中学其实已有介绍,但是没有继续深入介绍下去.方程,无法用于二重积分的计算.这里介绍一个易于掌握的“可视化”的方法.首先作出函数y2=x和y=x-2的图像,将围成的区域用阴影标记,注意2条曲线的交点为(1,-1)和(4,2).

方法1将其看作X型区域：

1)作1条水平直线,上下移动此直线并保持与区域相交；

2)该直线能达到的最高位置即区域的上边界：y=2；

3)该直线能达到的最低位置即区域的上边界：y=-1；

4)含于区域内部的线段的左端点的轨迹为区域的左边界：x=y2；5)含于区域内部的线段的右端点的轨迹为区域的右边界：x=y+2.由此得区域的参数方程为

方法2将其看作Y型区域：

1)作1条竖直直线,左右移动此直线并保持与区域相交；

2)该直线能达到的最左位置即区域的左边界：x=0；

3)该直线能达到的最右位置即区域的右边界：x=4；

4)含于区域内部的线段的上端点的轨迹为区域的上边界：y=x1/2；

由此得区域的参数方程为

交换积分次序是计算重积分的一个重要技巧,利用区域的2个不同的参数方程可以交换积分次序.

例4交换积分次序这是将D看作X型区域得到的方程,我们只需将D看作Y型区域并将区域表达式写出即可.过程为利用例2的方法将D的图像作出，再根据例3的方法将D的另一参数方程写出(具体方程见例3),所以

解由积分表达式可知积分区域的方程为

3 极坐标系下平面区域的参数化

极坐标下平面区域的图像与参数方程的互化与平面区域的情况类似.相应的动曲线可以取为端点为原点的射线,其运动为以原点为中心转动；或者取为以原点为圆心的圆,其运动取为半径的增大.这里默认的极坐标系以原点为极点,以x轴正半轴为极轴.

例5求区域在极坐标系下的参数方程；

方法11)过原点作1条射线,以原点为中心转动此直线并保持与区域相交.

2)该直线能达到的“最小角度”是区域的1个边界：θ=-π/2；

3)该直线能达到的“最大角度”是区域的1个边界：θ=π/2；

4)含于区域内部的线段的1个端点的轨迹是区域的1个边界：r=0；

5)含于区域内部的线段的另外1个端点的轨迹是区域的1个边界：r=2cosθ.由此得区域的参数方程为

方法2 1)以原点的圆心作1个圆,保持与区域相交，将圆的半径逐渐增大；

2)该圆半径能取的最小值是区域的1个边界：r=0；

3)该圆半径能取的最小值是区域的1个边界：r=2；

4)含于区域内部的圆弧的1个端点的轨迹是区域的1个边界：θ=arccos(r/2)；

5)含于区域内部的圆弧的1个端点的轨迹是区域的1个边界：θ=-arccos(r/2).由此得区域的参数方程为

对于方法2,常见的教材均未作介绍,一则因为此方法常涉及反三角函数,不便于计算；二则因为不必要,因为如果将方法1中的结果视为直角坐标系下的结果,使用直角坐标系下的方法可以得到方法2所得的结果(即交换积分次序).这里为完整起见,仍将其列出.

4 空间区域的参数化

空间区域的参数方程的求法与平面区域的情况也类似,只是更复杂一点.每个空间区域都有3组边界,因此有3!=6种不同的参数方程.空间有直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系3种坐标系.本文的方法对这3种坐标系均适用.对于球面坐标系,采取在直角坐标系下建立极坐标系的方法,即直角坐标系下点(x,y,z)与相应的极坐标系下的点(r,θ,φ)满足关系

例6[8]159设空间区域Ω由3个坐标面及平面x+2y+z=1围成,求Ω的参数方程.

解 1)作1个水平平面,将其上下移动并保持与区域相交；

2)该平面能达到的最高位置即区域的上边界：z=1；

3)该平面能达到的最低位置即区域的下边界：z=0；

4)该平面截区域Ω所得的(含参量的)平面区域为Dz={(x,y)|x+2y＜1-z,x＞0,y＞0}(确切地说是所截区域在xoy面上的投影).利用例3的方法可得Dz的参数方程为Dz={(x,y)|0≤x≤1-z,0≤y≤1-2y-z}.综上得区域的参数方程为

4)该平面截区域Ω所得的(含参量的)平面区域为(确切地说是所截区域在xoy面上的投影).利用例5的方法可得Dz在极坐标下的参数方程为

综上得区域的参数方程为

例7[8]161设空间区域Ω由曲面z=x2+y2与平面z=4围成,求Ω在柱面坐标系下的参数方程.

解 1)作一水平平面,将其上下移动并保持与区域相交；

2)该平面能达到的最高位置即区域的上边界：z=4；

3)该平面能达到的最低位置即区域的下边界：z=0；

例8求空间区域Ω={(x,y,z)|(x-1)2+y2+z2≤1}在球面坐标系下的参数方程.

解 1)作经过z轴的半平面,将其绕z轴转动并保持与区域相交；

2)该半平面能达到的“最小角度”是区域的1个边界：θ=0；

3)该半平面能达到的“最大角度”是区域的1个边界：θ=π；

4)该半平面截区域Ω所得的(含参量的)平面区域为Dθ={(r,φ)|r≤2sinφcosθ},利用例5的方法可得Dθ的参数方程为Dθ={(r,φ)|-π/2≤φ≤π/2,0≤r≤2sinφcosθ}.

综上得区域的参数方程为Ω={(r,θ,φ)|0≤θ≤π,-π/2≤φ≤π/2,0≤r≤2sinφcosθ}.