☉江苏省无锡市江南中学 陆晓冬

在掌握整式运算与因式分解的基础上，我们又学习了分式，对代数式有了更深的认识与理解.初中数学中的“数与式”包括5部分：有理数、实数、整式、分式和二次根式，分式是其中的一部分.后继学习用到分式的不多，只有反比例函数中有少许应用.中考中分式是必考内容，尤其是分式的化简求值常作为解答题出现.

一、基础知识回顾

基础知识即学习中最基本、最常用的知识，它简单实用、容易记住，也是最重要的知识，“万丈高楼从地起”，只有把基础知识打牢，才能更好地扩展和运用.当然，初中数学的基础知识，在教材中都用加粗的黑体字写出.它包括一些基本概念和运算法则.本次在回顾时，把其中关键词空出来，希望学生在填空的同时引起注意.

（1）一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有______，那么式子叫作分式.

（3）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个______的整式，分式的值不变.

（4）根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的______约去，叫作分式的约分.

（5）分子与分母没有______的分式，叫作最简分式.

（6）根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的______的分式，叫作分式的通分.

（7）取分母的所有因式的______的积作公分母，叫作最简公分母.

（8）分式乘分式，用分子的积作为积的______，分母的积作为积的______.

（9）分式除以分式，把除式的分子、分母______后，与被除式相乘.

（10）分式的乘方要把分子、分母分别______.

（11）同分母分式相加减，分母______，把分子相加减；异分母分式相加减，先______，变为______的分式，再加减.

（12）一般地，当n是正整数时，a-n=______（a≠0）.这就是说，a-n是an的______.

（13）小于1的正数可以用科学记数法表示为______的形式，其中1≤a＜10，n是正整数.

（14）______中含未知数的方程叫作分式方程.

（15）解分式方程的基本思路是将分式方程化为______，具体做法是“______”，即方程的两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.

（16）将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值______，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.

二、考点解密

“分式”这一章的知识点比较多，我从近几年各地中考数学试卷中，选取了其中考查分式的典型考题作为例题，通过考点的布列与展示，使学生进一步梳理知识，明白哪些是中考的考点，中考是如何考查的，通过例题的讲解与评注，使学生进一步厘清其中的易混点、易错点、关键点及重点问题的通性、通法，帮助学生进一步理解与掌握知识，提高对“分式”这一章重要考点的认识.它可以分为分式与分式方程两大部分的内容.

考点精讲（一）分式

考点1：分式的定义

分式的定义是整个分式这一章知识的起源，只有弄清了这个概念，才能去界定其他概念.

例1下列式子是分式的是（）.

解析：的分母是数，不含字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式，故选C.

评注：一个代数式是否是分式，关键看分母，若分母中有字母，那么它就是分式，特别地，中的π虽然是一个希腊字母，但它表示圆周率3.1415926……，是一个确定的无理数，故不是分式.π在代数式中出现，都表示圆周率，是一个数.

考点2：分式为0的条件

分式为0的条件，是中考考查的热点问题，因为它连带考查了分式有意义的条件：分母不为0，它常与绝对值或平方差公式结合在一起.

例2若分式的值为0，则x的值是（）.

A.1 B.-1 C.±1 D.2

解析：由分式，得|x|-1=0，x+1≠0，解得x=1.故选A.

评注：分式的值为0的条件是：分子为0且分母不为0.也就是说，在分式为0的时候，不能忘记使分式有意义，若分式无意义，分式的值为0还有什么意义呢？ 所以分式的值为0的两个条件，必须同时满足，缺一不可.

考点3：分式的值

分式的值就是把字母的值代入后求得的具体数值，它在中考中出现的形式比较灵活，可以与方程结合，也可以与有理数的除法法则结合.

例3若a2-ab=0，则=（）.

解析：a2-ab=0，则a（a-b）=0，则a=0或a=b.当a=0时，；当a=b时.故选C.

评注：根据有理数乘法法则，当ab=0时，必有a=0或b=0；根据有理数除法示则，当时，必有或当时，必有

考点4：分式的化简求值

分式的化简求值，就是将分式化为最简分式或整式，然后将字母的值代入求值.它是中考考查的高频点，因为它综合考查了因式分解、数与式的运算，同时是化归思想的一种体现.

例4化简分式：并从1、2、3、4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值.

解析：先化简分式，即：原式=

由x2-4≠0，x-3≠0，x2-4x+4≠0，得x≠2，x≠-2且x≠3，则可取x=1代入，得原式=3.

评注：在分式的化简求值问题中，先化简再求值，分式化简其实就是分式的通分、约分和因式分解的综合运用，加减运算运用通分，乘除运算运用约分，在确定最简公分母和确定公因式时运用因式分解.选择合适的值代入，不是任意选择，而是选择不会使分母为0的值代入.

考点精讲（二）分式方程

考点1：分式方程的解

分式方程的解，就是使分式左、右两边相等的未知数的值，这样的问题，对于分式方程来说是个难点，因为它要求先解一个含字母系数的分式方程，在解方程时，把字母看作已知数，只有x是未知数，然后对分式方程的解进行讨论.这样的问题，综合了分式方程的解法、分式方程的解、一元一次不等式的解法等知识.

例1已知关于x的分式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（）.

A.a＞1 B.a≥1 C.a≥1且a≠9 D.a≤1

解析：解分式方程，得x=

则a的取值范围为：a≥1且a≠9，故选C.

评注：此类题解答的一般步骤是：解分式方程，根据条件建立不等式且分母不为0；解不等式确定字母的取值范围.解分式方程时，按解分式方程的一般步骤进行；建立不等式时要同时考虑分母不为0.

考点2：分式方程的增根

分式方程的增根，是指使最简公分母为0的根，这样的根，对于分式方程来说，是增根，所以它不能代入分式方程，对于分式方程去分母后的整式方程来说，它是整式方程的根，所以它可以代入去分母后的整式方程，因此这样的根仍然很有用.

例2关于x的分式方程

有增根，则m的值为______.

解析：方程两边都乘（x-1），得7x+5（x-1）=2m-1.

由原方程有增根，得最简公分母（x-1）=0，解得x=1.

当x=1 时，7=2m-1，解得m=4，所以m 的值为4.

评注：增根问题可按如下步骤求解：（1）让最简公分母为0确定增根；（2）化分式方程为整式方程；（3）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

考点3：分式方程的应用

方程是从现实世界中抽象出来的一种数学模型，分式方程也是如此，所以实际生活中的一些问题可以运用列分式方程解决.这也是学习分式方程解法的目的之一.

例3用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等.求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米.

解析：设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x-20）袋.

解这个方程，得x=70.

经检验，x=70是方程的解，所以x-20=50.

答：A型机器人每小时搬运大米70袋，B型机器人每小时搬运50袋.

评注：列方程解应用题一般步骤为：审题、设未知数、列方程、解方程、作答.其中的关键是找到等量关系.题目中的数量关系比较多，每个数量关系只能用一次，即列代数式用过的，列方程时就不能再用了.

三、复习建议

在本章知识中，“类比”和“转化”的数学思想贯穿其中，类比分数理解分式，遇除法转化为乘法，遇异分母转化为同分母，遇分式方程转化为整式方程.在理解的基础上，关键在于计算的训练，本章的重点是分式的运算与解分式方程，应抓住核心知识进行训练，通过训练形成技能，通过做练习在手的动作上留下记忆.计算始终是数学学习的重点，而马虎是计算的大忌，所以认真、细致复习是本章内容的又一关键.