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研磨知识体系,提升复习思维
——也谈初三数学总复习的教学实效

2019-09-25浙江省湖州市南浔区南浔锦绣实验学校孔传辉

中学数学杂志 2019年18期
关键词:错题例题知识点

☉浙江省湖州市南浔区南浔锦绣实验学校 孔传辉

初三数学总复习是毕业班教学的一个重要阶段,是学生再学习、再创造的过程,也是全面提高学生数学素质,发展学生思维能力,培养学生分析问题、解决问题能力的“收获季节”.在总复习中通过构建数学知识网络,精选典型中考题型,归纳数学思想方法,设计分层巩固练习,积累数学解题经验,每一节课都觉得时间紧,任务重.如何针对不同复习内容选择合理的复习方法,运用恰当的教学手段,精选优质的习题,使不同层次的学生都能主动参与,有所收益,真正达到夯实基础、查缺补漏、拓展提高呢?下面我从构建数学知识框架,合理选题方面浅谈本人的几点探索.

一、自主梳理知识,构建知识网络

数学复习,知识点的掌握是首要的,也是关键的,它是解题之源、思维之本.初三数学复习目标是回顾、理顺旧知,更好地形成知识体系,使得知识结构更清晰化、系统化.知识的构建不是简单的叙述或列举,更不是知识、方法的简单重复,而应是学生自主建构、不断更新、持续生长知识的过程.

(一)妙用板块形式梳理,清晰创建知识结构

在梳理知识时,传统的做法是以教师讲为主,通常是知识点回顾,一一罗列出,耗时费力、学生较为被动,而学生掌握的更多的是零散、琐碎的知识.而引导学生厘清知识,自主创建知识小板块可更好地促发学生的参与感.当知识点较多时,教师可布置预学任务单,让学生根据要求,先在课外整理,再在课堂上交流.

案例1:在“二次函数”的复习中可形成如下的知识板块:

(1)概念:形如y=ax2+bx+c(a≠0).

(3)二次函数的平移规律拓展到轴对称与旋转变换(着重顶点与开口的变化).

(4)求抛物线的解析式(根据条件灵活选择).

①一般式:y=ax2+bx+c;②顶点式:y=a(x+h)2+k;③交点式:y=a(x-x1)(x-x2).

(5)二次函数与一元二次方程之间的关系.

设计意图:以板块的形式提炼出二次函数的主要内容,以结构化的形式明晰知识,有效地促进学生的知识建构,有助于学生把二次函数的图像、性质融会贯通.

(二)活用思维导图创构,优化知识网络体系

心理学家认为,数学学习的重中之重就是给学生建立一个数学思维结构.知识的总结,尤其一章内容的总结,需建立知识结构框架,在确定好复习内容后,根据复习目标,通过让学生(独立或小组合作)绘制思维导图,使其参与知识的构建,提高效率的同时,养成自主学习的习惯.

案例2:在“四边形性质与判定”这节课的复习中,教师可以将需要复习的概念罗列清楚,厘清各个概念之间的关系,让学生提前利用思维导图来构建知识框架,使得四边形内容更加系统化和层次化.图2和表1是两名学生整理的四边形判定与性质的思维导图:

设计意图:学生通过小组合作,用思维导图的形式表征复习内容,别出心裁,增强了参与感,归纳知识点,更加直观,有利于记忆与理解.

表1

(三)巧用串问以线带点,联动突出知识主线

一般可采用一条或几条主线把知识串联起来,使知识由点到线,再由线到面.例如“实数”的复习,概念多,较零碎,可找准主线,引导联系.可以数轴这个知识为主线:数轴给我们提供了哪些信息?通过数轴你能联系到哪些知识点?(强化数形结合的思想方法)(相反数、绝对值、实数的分类、有理数大小比较……)

这个环节的复习目的是让学生全面、系统掌握初中数学基础知识、基本技能,力求全面、扎实、系统,使学生对所学内容形成一个知识网络体系.“过三关”:过记忆关,过基本方法关,过基本技能关.

二、精选例题,建构思维

精心选题是上好复习课的重要一环,选题得当事半功倍,否则劳而无功,达不到预期的目的,因此教师应结合《义务教育数学课程标准(2011年版)》《考试说明》,从提高学生数学能力出发,以课例、中考试题、学生错题典例为生长点,形成生长链,使学生实现从知识的内化到能力的迁移、升华.

(一)立足教材,注重例题变式的精选——引导生长点

源于教材,活用教材,很多例题具有科学性、示范性、导向性,而且教材中的例题有规范的解答过程,控制了教材的深度和知识的辐射范围.立足教材的基础,同时挖掘一些典型例题的内涵与外延,就是注重例题的改编与变式,让学生在已有的基础上进行思考与衍生.

案例3:(浙教版八上)如图3,已知点C为线段AB上一点,△ACM和△BCN是正三角形.求证:AN=BM.

(1)将△CNB绕点C顺时针方向旋转60°、120°、180°(如图4、图5、图6),AN和BM相等吗?为什么?

(2)如果正三角形换成正方形(如图7),AN与BM有什么关系?

(3)如果A、B、C三点构成一个三角形的三个顶点,在AC、BC上向外作正三角形或正方形(如图8、图9),这时AN与BM又有什么关系?

设计意图:通过“形变扩思”,以“形”设疑,以“形”引思,以“形”促思,除了能提高学生学习的兴趣,图形的多次演变,还将促使学生的思维活跃、扩展,在信息的多次变化中,引导学生思维的生长点.

(二)着眼中考,注重改编精选考题——拓展发散点

初三数学复习坚持以课标为主线,以考试说明为根本,中考数学试题往往具有较强的热点性、导向性、典型性,很多题目的设计都坚持了能力立意,将数学知识、方法、技能和数学思想有机结合起来.精选中考试题,解析建模,应用迁移,通过改编例题,以期举一反三.

案例4:【模型建立】

(1)如图10,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于点D,过点B作BE⊥ED于点E.求证:△BEC△CDA.

【模型应用】

(2)如图11,一次函数y=-2x+2的图像与y轴交于点A,与x轴交于点B,过点B作线段BC⊥AB且BC=AB,直线AC交x轴于点D.

①求点C的坐标,并直接写出直线AC的函数关系式;

②若点Q是图11中坐标平面内一点,当以点A、D、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形时,直接写出点Q的坐标.

设计意图:通过三垂直的全等三角形这一基本模型生长问题,进一步拓展到函数图像中求点的坐标,让学生积累识别、应用模型的经验,理解问题本质,领悟数学化归思想.

(三)析错纠误,注重错题精选典例——明晰错误点

引导学生在数学作业中建立错题档案.要求学生准备错题本,收集摘录平时作业、测验中经常性出错的题目和给自己留下深刻印象的错题,建立错题档案.对于每道错题,都要分析错误原因,列出正确的解法,并且得到体验和启发.表2是错题本的模板.

表2

摘用学生错题时,通常选取同一解法中同一知识点的不同错题,也注重选择比较典型的题目,一题多解的各种解法及对解法进行分析和评价,通过讨论和评析,互相学习他们的经验和方法,进行对比分析,举一反三,触类旁通,加深对数学知识内涵与外延的理解,提炼数学思想方法,提高数学学习能力.

解题时应让学生掌握概念的实质,严格审题,周密思考,训练思维的严密性.

案例5:(1)若关于x的分式方程有一个正数解,则k的取值范围是______.

分析:先解方程得x=6-k.因为x>0,所以k<6.x≠3这个条件很容易被忽略.

(2)已知函数y=(m-1)x2-2mx+4.证明:不论m取何值,此函数总与x轴相交.

分析:对二次函数来说,a≠0的条件至关重要,不可忽视.但第(2)题未强调是二次函数,应分m-1=0和m-1≠0两种情况讨论求解.

设计意图:以上两例说明不掌握数学概念的实质,命题结论成立的条件、适应范围,运用时就容易产生错误,在复习中,教师要有意识地设计一些类似的“陷阱”,以训练学生思维的严密性.

三、反思提炼,升华思维

反思是一条能够有效地使学生学习能力得到升华的途径,失去了反思,也就失去了创造力,同时会陷入题海中,教师要通过题后小结、课堂小结用心地培养学生反思的良好习惯.

(一)课堂互动中引导学生反思、内化

课堂是教育教学工作的灵魂.课堂上的45分钟是教师完成教学任务的主阵地,是学生学习知识的前线.课堂效率也决定着学生学习的效率.学生的反思往往不是与生俱来的,而是通过教师的教学及启发,然后结合自己的主观意识和自身的能力得到技能的提升.在课堂中,教师多结合习题给予指导,留出时间让学生进行反思,并对反思的结果进行交流,教师给予补充,确实提升学生的概括能力、抽象能力、表达能力,促进学生知识构建,使学生更好地把握课堂知识的全貌.

(二)典例解析生成中引导学生拓展提升

初三学生具备了一定的反思能力.有的自我反思意识较强,反思力较强,有的自我反思意识薄弱,反思力不足.所以在教学过程中,要有意识、有目的、有计划地教给学生自我反思的方法,提供各种载体和平台培养学生自我反思的能力,培养学生的反思性学习习惯,这不仅能激发学生的学习兴趣,而且有助于增强学生学习的积极性和主动性.在数学学习中,其主要表现为:善于从多方面、多角度、不依常规地去思考问题、发散思维,善于多方探求,对于一个问题,能通过联想、类比、迁移,获得解题的方向,寻求解决问题的最佳方案,从而自主提高自己的综合素质,挖掘自己的潜能,不断提高自身的数学素养.

案例6:在专题复习图形的折叠问题时,可以说2017年金华中考第23题非常经典,如图12,将△ABC纸片沿中位线EH折叠,使点A的对称点D落在BC边上,再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC底边上的高线EF、HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形,这样的矩形称为叠合矩形.

(1)将▱ABCD纸片按图13所示的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段________、________;S矩形AEFG:S▱ABCD=________.

(2)ABCD纸片还可以按图14所示的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的长.

(3)如图15,四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC,AB=8,CD=10.小明把该纸片折叠,得到叠合正方形.请你帮助画出叠合正方形的示意图,并求出AD、BC的长.

问题1:折叠问题中首要抓住什么?重叠的是哪些图形?

问题2:要折成正方形,有什么折法?小组合作并展示.

两种折法:如图16与17.

设计意图:本题是由较为常见的折纸而引入的数学问题,通过折痕的不断变化,从特殊到一般,从而生长成层次性较强的问题链,形成思维场,关键是要引导学生抓住基本支架——折叠后的等量,从不同视角(勾股定理、相似三角形对应边成比例)建立方程,再结合示例动手操作得到正方形,感悟数学思想的灵动,促进思维的迸发.

本例讲述完后,让学生点评悟与得,几何好像推理断案,从基本图形中找到蛛丝马迹,合并条条线索,通过层层剖析,由浅入深,自现象而本质,从具体而抽象,一步步深入思考和探究,做出科学的推理和正确的判断,培养了思维的逻辑性,锻炼探索问题的能力,从而产生“深者得其深,浅者得其浅”的效果.数学复习课不仅仅是刷题的程序化教学,更多的是激发学生思考、拓展学生思维的师生互动教学.

教学实践表明,构建数学知识框架,精心选题,反思提炼是提高复习质量的保障,三者缺一不可.在初三数学总复习中,把分散的知识点连成线、结成网,使所学知识系统化、条理化,挖掘教材,夯实基础是根本;精选习题,提质减负是核心;强化训练,发展能力是目的.反思总结,深化思维,关注知识关联生长,只有这样,才能以不变应万变,以一题带一片,融会贯通,开发学生的思维空间,真正提高学生的综合能力及水平,提高初三数学总复习的针对性和实效性.

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