吴超嫦

摘 要：数学既是一门演绎科学，又是一门实验归纳科学。在数学教育中，数学实验的实施有助于学生对数学理论的直观认知，数学实验是结合数学教育需要，适应教育技术发展的重要手段。数学实验的类型包括验证性数学实验和探索性数学实验，验证性数学实验立足已知的结论，通过实验形式展现推导过程，给予学生理论描述更直观的体会;探索性的数学实验则通过对未知结论的探索，引领学生进行数学思维的构建。数学实验是数学理论的再发现的途径之一，可丰富教学形式，推动数学教育的发展。

关键词：数学教育;数学实验;探索性数学实验;验证性数学实验;教育发展

一、什么是数学实验

在数学领域，对数学实验有着不同的理解和看法。本文中的数学实验并非简单地指“思维实验”，而是指在一定的实验条件下，借助一定的物质手段，借助数学思维活动，为获得一定的数学理论和检验一定的数学思想而进行的探索和研究活动。从实验的目的来看，数学实验可以分为验证性实验和探索性实验。

二、为什么要在高中数学教学中开展数学实验

1.数学自身特点决定了要在教学中开展数学实验

美籍匈牙利数学家、数学教育家乔治·波利亚（George Polya）曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个角度看，数学像是一门系统的演绎科学;但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学。”根据瑞士数学家欧拉的说法，“数学是一门需要观察和实验的科学。因此，数学不仅是一门演绎和推理的学科，也是一门实验和归纳的学科。

2.学生的认知特点决定了要在教学中开展数学实验

夸美纽斯，16世纪著名的捷克教育理论家和实践者，在《大教学论》中提到过：“知识的开端永远是从感官来的”“科学的真实性与可靠性，其所依赖于感官的证明比其他一切事项要多。”“感官是记忆最可信的仆役，所以，如果这种感官的自觉方法能被普遍采用，它就能使知识一经获得以后，永远保住。”

皮亚杰的认知发展理论认为：认知发展过程是主体的主动建构过程，主体对信息进行整理、归类、创造，并将之纳入已有的认知结构中。因此，知识不是由教师传授的，而是由学习者在一定的社会和文化背景下，在其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助下，借助必要的学习材料和通过意义的建构来获得的。

美国教育家戴尔的“经验之塔”理论把学习分为三类，共十个层次，从下到上是宝塔形的，分别是做的经验、观察的经验和抽象的经验。戴尔认为，教育应该从具体的经验开始，逐步抽象。数学学习的有效途径应该是充满具体的数学经验的，而获得数学经验的最佳途径就是做数学实验。

3.数学教育的需求决定了要在教学中开展数学实验

在数学教育中，逻辑推理一直受到人们的重视，而实验、猜测、归纳、创新能力的培养，对科学突破具有重要意义，却没有得到足够的重视。学生越来越不了解数学从何而来，感觉越来越枯燥，越来越不喜欢数学。

数学教育专家郑毓信教授认为，在数学教育中，我们不应该唯一强调数学知识的掌握，而应更加重视，使学生像数学家一样去工作，像数学家一样去思维。而在数学教学中进行数学实验，可以使学生在教师的指导下，从“听”转变为“做”。从过去被动地接受现成的数学知识，转变为现在像“研究者”一样去发现和探索知识。中科院院士、数学教育学家姜伯驹指出，“应该组织数学实验课程，在教师指导下，通过学生自己动手计算、体验解决问题的过程，探索某些理论或应用的课题，使新鲜想法借助数学软件可以迅速实现，从而在失败与成功中得到真知。这种方式，变被动的灌输为主动的参与，有利于培养学生的独立工作能力和创新精神。”

4.教育技术发展的状况决定了可以在教学中开展数学实验

近年来，多种多样的实物模型变得非常常见，计算机、TI图形计算器也逐渐在学校里普及，这为数学实验的开展提供了物质保障，《几何画板》《数学实验室》《Z+Z智能教育平台》《Mathmatica》《Maple》《MATLAB》《MathCAD》等一批软件的应用则提供了强大的技术支持。现在，我们不仅能使用模型等实验手段进行传统的“数学实验”，也能利用各种软件进行广泛的计算机辅助实验。

三、怎样开展数学实验

1.数学实验设计的基本原则

数学实验设计除了遵循教学设计的一般性原则以外，还应注意以下几点：

（1）实验内容应当适合学生的知识水平和年龄特点。

（2）实验问题要贴近学生生活，以激发学生研究兴趣，让学生从实验过程中了解数学的价值。

（3）实验过程应可控、可伸缩，可随时添加一些数学元素或条件，以帮助探索问题。

（4）实验通常由学生直接进行，通过启发式提问，教师在学生实验过程中起到引导、辅导和帮助学生学习的作用。

（5）要设计实验报告，学生在实验后完成。

2.验证性实验教学案例

验证性实验是通过实验操作和观察，记录和分析来测试数学判断或结论的真实性的实验。作为一种常见的理解方式，这种数学实验是演绎与归纳相结合的。通常教师演绎新的结论时，由于抽象的结论和复杂的推理过程，学生在心理上较难接受，而通过实验，学生亲身经历了知识产生、形成的过程，使新知识具体化，更好地提高了學生对新知识的认识和理解。

案例1：

【实验课题】同时掷两枚质地均匀的硬币时各事件发生的概率。

【实验内容】同时掷两枚质地均匀的硬币50次，统计“一枚正面朝上一枚反面朝上”“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”三种结果发生的次数，验证这三个事件的概率分别为1/2、1/4、1/4，并根据实验数据分析其原因。

【实验目标】纠正学生的错误观点：“一枚正面朝上一枚反面朝上”“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”三个事件是等可能事件。引导学生正确分析试验中的基本事件。

【实验准备】两枚质地均匀的一元硬币，两人合作，一人掷硬币，另一人记录。

【实验过程】

（1）一人同时掷两枚质地均匀的硬币50次，另一人记录“一枚正面朝上一枚反面朝上”“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”三种结果发生的次数。

（2）填表。

表1：掷硬币试验次数n=50。

表2：汇总其他小组的试验结果后填写下表。其中掷硬币试验次数为n，事件发生频率为P。

（3）根据实验结果，我们可以估计同时掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上一枚反面朝上”的概率为____________，出现“两枚正面朝上”的概率为____________，出现“两枚反面朝上”的概率为____________。

（4）试着根据这三个事件的概率大小，分析其原因。

【延伸实验】

将两枚质地均匀的硬币分别标上记号“A”“B”，再同时抛掷50次，会出现哪些试验结果？记录并填写下表：

根据实验数据，我们可以估计同时掷两枚质地均匀的硬币，以上结果发生的概率各是多少？这个概率与前面的实验中所得的概率有什么联系？

此案例的实验简单易操作，一方面让学生体验了通过实验得出频率，再用频率估计概率的研究方法，另一方面用数据纠正了“掷两枚硬币出现‘一正一反的概率为1/3”的错误认识。通过对知识结论的验证，无论是积极的还是消极的，都可以培养学生的科学精神，而且可以巩固学生所学的知识。

3.探索性实验教学案例

探究性实验是通过实验探索，回答学生不知道答案的数学问题，一般也不提供实验材料，只提供实验课题。事实上，它为学生通过探究学习数学知识提供了一种实用的途径，强调探究过程中数学知识的获取和数学理解。

案例2：

【实验课题】利用几何画板探索指数函数的性质。

【实验内容】形如y=ax（a>0且a≠1）的函数叫作指数函数，本实验拟用几何画板作为工具探索指数函数值域、单调性、奇偶性以及底数a对函数图象形状的影响等方面的性质。

【实验目标】探索利用动点研究函数性质，获得指数函数相关性质的方法，培养学生观察、分析、抽象、概括等数学思维能力的实践能力，并培养学生运用计算机技术理解数学和解决数学问题的能力。

【实验准备】为每台计算机安装几何画板;要求学生复习几何画板的相关用途，如根据坐标构点、绘制函数图象等;一组四人，每组一台计算机。

【实验过程】

（1）从图象探索指数函数的基本性质。

打开几何画板新建页面1，新建参数a（设置参数键盘调节单位为0.2，下同），初始值a=0.1，绘制新函数y=ax;观察图象有什么特征？

观察与思考：

①函数图象分布在第几象限？这说明函数中x和y的取值范围是什么？

②函数图象从左往右看是上升还是下降？说明指数函数的什么性质？

③函数图象的对称性如何？反映了指数函数的什么性质？

（2）探索底数a对函数图象形状的影响。

改变参数a的值，观察指数函数图象的变化，可以发现什么规律？

（3）研究指数函数y=ax和y=（1/a）x图象的关系。

①绘制函数y=ax和y=（1/a）x的图象，猜想________________________。

②选定函数y=ax图象，构造图象上的动点P，作出P关于的对称点P'，观察P'的位置与函数图象y=（1/a）x有什么关系？

③结论：________________________________________________。

在上面的案例中，教师提出问题，在教师的指导下，学生在规定的时间内按照预先安排的组织进行实验材料的操作和实验。根据实验现象的观察或数据记录以及数据分析和處理的结果，进行初步的猜测，并考虑其原因。然后各个小组进行讨论和交流，最终获得大家都认可的结论。在这个过程中，学生自己动手，通过实验来探索和发现各种规律。这不仅使新知识找到了坚实的附着点，而且使学生的数学认知结构在探索过程中得到了发展。

数学实验是再现数学发现过程的有效途径。它丰富了数学学习的形式，为学生提供了一个主体参与、积极探索、大胆实践和创新的学习环境，为解决数学问题提供了新的途径。在高中数学教学中开展数学实验是现代教学方式发展的需要，这是改变教学方法的有益尝试，它将促进教育技术的发展，并将创造、丰富和发展创新教育理论。

参考文献：

[1]让·皮亚杰.皮亚杰学说及其发展[M].湖南教育出版社，1983.

[2]埃德加·戴尔.试听教学法[M].中华书局，1949.

[3]曹一鸣.数学实验教学模式探究[J].课程·教材·教法，2003（1）：46-48.

[4]李海军.让数学实验有效地进入课堂[J].中学数学教学， 2014（2）：24-26.

[5]李生，徐瑢.基于现代信息技术的数学实验课初探[J].教育研究与评论（中学教育教学版），2017（1）：71-75.

编辑 李烨艳