陈润生

以北师大版义务教育教科书数学七年级下册《简单的轴对称图形——等腰三角形》为例，探索初中数学关键教学点的选择与实施，以期能通过科学选择和有效实施关键教学点达到培养学生核心素养，实现减负增效提质的目标。

核心概念的界定：初中数学关键教学点是指基于初中数学内部的地位和作用。在数学教学过程中，某知识内容范围内一个根本或核心的教学点，它在整个教学过程中能起到“奠基（知识）、示范（方法）、引领（能力）、启迪（思想）”的作用。在初中阶段的数学内容中，由于所处的地位与作用不同，并不是所有的数学知识的学习都必需平均用力，在这个过程中，“宏观选定→微观设计→思维主攻→微课助力”是一个有效的策略。现以数学七年级下册《简单的轴对称图形》为例，阐述这个过程的实施。

一、宏观选定关键教学点

科学把握并深刻理解某个内容是关键教学点有效实施的前提。这就必须从数学内部角度出发，深度研究该内容的学科价值，并结合学生的身心发展规律和认知规律加以确定。如《简单的轴对称图形—等腰三角形》应属关键教学点的理由为：

1.等腰三角形是最常见、较简单的轴对称图形之一，借助图形的变化研究图形的性质是几何中常用的方法。在探究等腰三角形性质过程中，学生经历“观察（实践）—发现—猜想—论证”，由“形象思维”向“抽象思维”过渡，发展文字语言、图形语言、符号语言相互转化能力和推理能力。同时“等边对等角”的证明方法是规则的选择与使用的典型范例，是“边”与“角”互相联系与转化的重要依据，也是平面几何体系中支柱性定理之一。

2.等腰三角形特征的学习是继三角形之后的又一几何图形特征的学习，体现了一般观念下几何图形特征的研究方法，其经历“研究什么→怎样研究→得到什么结论→怎样应用结论”的过程是后续学习与研究直角三角形、平行四边形、圆形等图形特征的范式。

3.等腰三角形的学习过程中，渗透的类比、一般与特殊、数形结合、方程与函数、分类与整合、转化与化归等思想方法都是数学学习的核心内容。

4.基于“等边对等角”在数学史上的发现过程，从HPM视角看，本节课也是数学史渗透的绝佳材料，有利于数学文化的传播，数学精神的弘扬。

二、微观设计教学方案

要实现关键教学点所承载的价值就必须设计科学可行的课堂教学方案，要充分考虑教材分析、学情分析、教学目标、教学策略、教学过程、引导发展、成效评价、课后反馈等方面，突显教学过程的阶段性目标以及实现目标的手段和途径。如在《简单的轴对称图形——等腰三角形》的设计中，第一阶段：在微课的引导下学习一般观念下的几何图形特征和研究方法，可安排在课前也可安排在课堂的前部分。其设计意图是明确“为什么学”“学什么”“怎样学”，以利于按图索骥展开教学。第二阶段：借鉴几何图形特征的研究方法，学生自主学习了解等腰三角形的概念，探究等腰三角形的特征。其设计意图是体现学生主体地位，放飞思维空间，经历探索的过程，实现自主探索，初步获得新知。第三阶段：教师引导归纳、总结、反思，在突破难点“三线合一”之后，可以渗透数学史。其设计意图是发散与收敛相结合，指向核心内容的学习与收获。第四阶段：例练结合，注重思维和表达。其设计意图是做好知识、技能与思想方法的固化与叠加，培养理性精神、思维方式和规范性表达能力。第五阶段：反思性小结：其设计意图是通过“对等腰三角形特征的探索，我们学到什么知识、技能、思想、方法？有什么体验和疑问？”培养总结反思的能力，在释疑、纠错的同时做到“颗粒归仓”。

三、为思维而教，凸显思维教学，培养理性精神

思维教学是数学课堂的灵魂，关键教学点的实施更要注重思维教学，要渗透各种思维方式的培养。如在《简单的轴对称图形——等腰三角形》应全方位渗透思维教学：1.学习一般观念下的几何图形特征的研究方法时，应渗透“研究什么→怎样研究→得到什么结论→怎样应用结论”的自然、简单正向思维方式;2.在探索等腰三角形的特征时，要渗透“欲证需证紧相连”“前因后果、步步有据”的思维方式;3.在例题分析和练习巩固时，要渗透分析法、综合法、分析——综合法等基本的思维方式;4.整个教学还要关注收敛思维、发散思维、逆向思维的渗透。

四、微课助力，课内课外相结合

在信息化的大潮下，借助信息技术手段助力质量提升是教学的必然。微课因其特有的优势能插件式地应用在课前、课中、课后，从而有效的助力关键教学点的实施。如在《简单的轴对称图形——等腰三角形》可安排微课如下：微课1：《几何图形的特征的研究方法》：以复习三角形内角和的探索过程为载体，介绍一般观念下几何图形特征的研究方法，着重突出研究几何图形特征的一般方式：“明确研究对象→选择研究方法→开展行动研究→得到研究结果→应用研究结果→深入开展研究”不断循环往复的过程;微课2：《“等边对等角”的探究》：在利用几何画板改变等腰三角形的腰的大小时，通过观察、测量、猜想得出结论并进行证明;微课3：《“三线合一”的探究》：在利用几何画板的动画功能，直观展示“三线合一”效果，引导学生猜想得出结论并进行证明;微课4：《“等边对等角”的发现史》：从HPM的视角介绍数学史，渗透数学文化，弘扬数学精神;微课5：《总结与反思》：引导学生思考“通过对等腰三角形特征的探索，学到什么知识、技能、思想、方法？有什么体验和疑问？”设计意图是引导反思性小结，该微课可以应用于课堂小结，也可以应用于课后复习;微课6：《“三线合一”的多种证明方法》：结合本节课的难点而设计，意图在于帮助学生突破难点的同时通过规范性表达的示范，给学生提供模仿的素材。

设计意图：1.全面复习巩固等腰三角形、等边三角形的概念;2.全面固化和叠加应用等腰三角形和等边三角形的特征解决问题的能力;3.关注数学阅读，注重文字语言、符号语言、图形语言等三种语言的转化;4.注重画图、标识图形、用图的能力培养，培养学生基本的几何解题规范;5.渗透分析法、综合法等思维方式;6.渗透数形结合、转化化归、方程思想、一般与特殊等数学思想方法。

微课为学生提供课外学习、固化叠加、拓展应用的素材，该类微课的选择应注重综合性，讲解要体现思维的引导、方法的选择、规范的表达。当然这些微课不是要全部用于课堂学习，而是结合学情有选择地使用或作为学习资源供学生个性化的选用。同时为了提升微课使用的有效性可以设计《微课使用说明》和《微课导视单》供学生使用，如微课《几何图形的特征的研究方法》可建议于课前使用。

《简单的轴对称图形——等腰三角形》微课导视单

（1）几何图形的特征主要是指什么？

答：几何图形的特征主要是指组成几何图形的基本元素或相关元素的——————和——————。

（2）研究几何图形的特征的一般方法是什么？

答：研究几何图形的特征一般方法应包括：    ——————和——————两个部分，二者缺一不可。

（3）我们所熟悉的三角形的图形特征有哪些？如何进一步研究三角形的特征？

答：三角形的特征有“三角形任意两边之和大于第三边”“任意两边之差小于第三边”“三角形的内角和为180[°]”等等。如果要继续深入研究三角形的特征，一般要——————。

教师可以视导视单完成情况决定是否于课堂上再次组织观看微课，以确保学生先学到位，后学有基础。

总之，通过“宏觀把握→微观设计→思维主攻→微课助力”开展初中数学关键教学点的选择和实施，有利于数学本质的把握，数学核心素养的培养。

注：本文为福建省普通教学研究室课题“信息化环境下初中数学关键教学点实施行动研究”（课题编号：MJYKT2018-048）成果。

（责任编辑  李 芳）