姚小绪

【摘要】  节选2019届深圳市高三第二次调研考试题，加以具体剖析，利用转化思想，帮助学生掌握破题解题的求解思路，把数学学活，提高学生创新，探究能力。

【关键词】  转化思想 立体几何 翻折 创新 探究

【中图分类号】  G633.6             【文献标识码】  A   【文章編号】  1992-7711（2019）13-112-02

高中数学中，立体几何是高考大题之一，必考题，中等难度题，题目本身很灵活，对学生的逻辑思维要求比较强，如果学生能很好的学活那就好了。但往往好多学生很难拿满分，线线，线面，面面之间的关系弄不清楚，公理定理掌握不透，书写不规范等，而翻折问题又是立体几何中的“活”题，把立体几何考活了，由静态到动态，在变中找不变，是高考的热点，高考文科数学中，点到平面的距离及求三棱锥的体积是常见题型，现就翻折问题里的点到平面的距离谈谈我个人的看法：

首先，翻折问题，是一个动态的过程，一定要观察翻折前与翻折后不变的量，如线段的长度，角度的大小等，特别要注意到直角的地方。翻折的题一般会出现翻折到满足某个条件时停止，这个条件非常重要。如果没有这个条件，那说明翻折到什么时候停止对结果没有影响。可以采取多在几处停，多观察观察变化的量和不变的量，结合所求的问题，找到已知条件与所求问题之间的关系。再次，求点到平面的距离问题，也就是求点到平面的垂线段的长度，往往比较难找这条垂线段，总结有几种方法：第一：把点到平面的距离转化成三棱锥的高（等体积法），第二：把点到平面的距离转化成过此点与平面相交的线上的点（除直线与平面的交点）到平面的距离（相关点法），第三：直接找到过此点与平面垂直的垂线段（直接法）。第四：把点到平面的距离转化成过此点与平面平行的直线上的点到平面的距离等，第五：把点到平面的距离转化成代数计算问题，建立空间直角坐标系，求出平面的斜向量和法向量，用向量法求解等。最后，做立体几何题要有良好的习惯，多思，多想，多练习，用自己习惯的符号在图形上圈圈点点，把题目的已知条件尽可能地反应到图形中，目的是只看图形就可以知道有哪些已知条件，可以给解题带来方便，在书写上做到严谨严密，工整规范等。

例题：（2019届深圳市高三第二次调研考试题节选）在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD的中点，以CE和CF为折痕把△DFC和△BEC折起，使点B、D重合于点P位置，连结PA，得到如图所示的四棱锥P-AECF，求点A到平面PEC的距离。

一、把点A到平面PEC的距离转化成求三棱锥A-PEC的高，用等体积法

解法1：设点A到平面PEC的距离为h，分别连接EF，AC相交于O点，

翻折前，在正方形ABCD中，FD⊥DC，EB⊥BC，翻折后，PC⊥PF，PC⊥PE

又因为PFnPE=P，PF，PE      平面PEF

所以PC⊥平面PEF，又因为EF    平面PEF，OP     平面PEF，所以EF⊥PC，OP⊥PC

又因为在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，所以EF⊥AC，

又因为PC∩AC=C，PC，AC   平面PAC

所以EF⊥平面PAC，又因为EF     平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD

所以直角△OPC斜边上的高即为三棱锥P-AEC的高，设为d

翻折前，FD=EB=2，翻折后，PF=PE=2，在直角三角形AEF中，易知EF=2■，

所以在△OPC中，有PF2+PE2=EF2，可得PF⊥PE由等面积法易知OP=■，

在三角形ABC中，可求AC=4■，所以OC=3■，在直角三角形OPC中，由勾股定理可求出PC=4，用等面积法可求出d=■.

由VP-AEC=VA-PEC得■×（■×2×4）×■=■×（■×2×4）×h

解得h=■，所以点A到平面PEC的距离为■.

解法2：由解法1易知，OE⊥平面PAC，由题意易知OE=■EF=■，

在△PAC中，AC=4■，AC边上的高为■;在Rt△PEC中，PE⊥PC，PE=2，PC=4;

设点A到平面PEC的距离为h，

由VE-PAC=VA-PEC得■×（■×4■×■）×■=■×（■×2×4）×h

解得h=■，所以点A到平面PEC的距离为■.

小结：等体积法是常见的间接的求点到平面的距离的一种方法，把点到平面的距离转化成三棱锥的高，关键是要求出三棱锥的体积。

二、（1）把点A到平面PEC的距离转化成过点A与平面PEC相交线上的点B到平面AEC的距离

解法3：因为点E是AB的中点，所以A，B两点到平面PEC的距离相等，设为h

由解法1易知，三棱锥P-BCE的高为■，在Rt△PEC中，PE⊥PC，PE=2，PC=4;

在Rt△BCE中，BE⊥BC，BE=2，BC=4

由VB-PEC=VP-BCE，得■×（■×2×4）×h=■×（■×2×4）×■

解得h=■，所以点A到平面PEC的距离为■.

（2）把点A到平面PEC的距离转化成过点A与平面PEC相交线上的点O到平面AEC的距离的■

解法4：设点A到平面PEC的距离为h，设点O到平面PEC的距离为d，因为O为线段AC的四等分点，所以AC=■OC，因此h=■d，在Rt△PEC中，PE⊥PC，PE=2，PC=4;

在Rt△OEC中，OE⊥OC，OE=■，OC=3■;三棱锥P-OCE的高为■

由VO-PEC=VP-OCE得■×（■×2×4）×d=■×（■×■×3■）×■

解得d=1，所以h=■，d=■，所以点A到平面PEC的距离为■.

（3）把点A到平面PEC的距离转化成过点A与平面PEC相交线上的点F到平面AEC的距离的■

解法5：设点A到平面PEC的距离为h，设点F到平面PEC的距离为d，

分别延长DA，CE交于点N，连接PN，易知AN=BC=AD，因为点F是AD的中点

所以AN=■FN，因此h=■d，由解法1知，PF⊥PC

在△PEF中，PF=PE=2，EF=2■，由勾股定理知PF⊥PE，

PE，PC    平面PEC，PEnPC=P，所以PF⊥平面PEC，d=PF=2

所以h=■d=■×2=■，所以点A到平面PEC的距离为■.

小结：把点到平面的距离转化成过此点与平面相交的直线上的点（除直线与平面的交点）到平面的距离，关键要能准确地找到两个距离之间的关系，可能是相等可能不相等，不相等时，谁是谁的几分之几或几倍要弄清楚。

三、直接找到点A到平面PEC的垂线段即为点A到平面PEC的距离（直接法）

解法6：过点A作AM∥FP，交PN于点M，由解法5知，FP⊥平面PEC，

所以可得AM⊥平面PEC，所以，点A到平面PEC的距离就是线段AM的长

由题意易知，△ANE≌△BCE，所以可得AN=BC=AD

所以在△PFN中，易知点A是NF的三等分点，所以AM=■FP=■×2=■

所以点A到平面PEC的距离为■.

小结：这种直接找点到平面的垂线段的方法叫直接法，先找再求，关键是要能找到过此点与平面垂直的垂线段，对于文科生来讲，往往有一定的困难。

四、点A到平面PEC的距离转化成过点A与平面PEC平行的直线上的点H到平面PEC的距离（平行直线上的所有点到平面的距离相等）

解法7：取CD的中点为H，连接AH，连接PH，EH，则AH∥EC，易知AH∥平面PEC

所以A，H两点到平面PEC的距离相等，设为h

由VH-PEC=VP-HCE和解法1易得■×（■×2×4）×h=■×（■×2×4）×■

解得h=■，所以点A到平面PEC的距离为■.

小结：这种间接的方法是根据离平行直线上的所有点到平面的距离相等得出的一种方法，关键是能找到过此点与平面平行的直线，并且直线上的某个点到平面的距离比较好求。

五：把点到平面的距离转化成代数计算问题，建立空间直角坐标系，找出平面的一个过此点的斜向量，求出平面的一个法向量，通过向量法求出点到平面的距离。

解法8：由解法1知，如图，EF与AC互相垂直，交點为O，所以分别以OE，OC为X，Y轴，过O点作AC的垂线为Z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，■，0），E（■，0，0），

C（0，3■，0），P（0，■，■），所以■=（■，■，0），■=（-■，3■，0），■=（■，■，■），

设平面PEC的法向量■=（x，y，z），由法向量■与■的数量积等于0，法向量■与EP的数量积等于0，可得-■x+3■=0，-■x+■y+■z=0，解得x=3，

令y=1，则z=2■，所以■=（3，1，2■），■·■=4■，法向量■的模为3■，因此，点A到平面PEC的距离h=■=■

小结：空间向量法是把立体几何知识转化成代数计算问题，比较好想，但是在标点的坐标的时候容易出错，一个点的坐标有三个数，只要错一个数就会影响到结果，所以一定要仔细标点的坐标。此方法的关键是能找到两两互相垂直的直线，建立合理的空间直角坐标系，求出平面的法向量及代入公式计算点到平面的距离。（文科生对向量法不作要求）

以上主要谈了翻折问题和点到平面的距离问题，并以具体的例题展示了各种转化思想，学好立体几何是学好数学的关键，学习立体几何常常需要从不同角度，用不同的转化思想去思考问题，此题用了八种解题方法，各种方法有不同但又有联系，易想的计算量大点，难想的计算简单些，各有优点和不足。

[ 参  考  文  献 ]

[1]聂文喜，周家三.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯，2004.6：12-13.

[2]刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究，2003，3：30-31.