☉江苏省苏州市相城经济技术开发区漕湖学校 倪 勇

数学作业是课堂教学的延续，学生通过作业可以达到巩固所学知识、提升数学能力的目的.然而，由于受应试教学的影响，为了提高班级平均分，教师往往给学生布置大量浅层次的数学作业题，此举不但加重了学生的课业负担，同时，让学生对这类作业产生了抵触情绪，从而伤害了学生学习数学的积极性.那么，如何改变这种现象呢？笔者认为，教师应加强初中数学拓展性作业的设计，让学生在别样的数学作业中感受数学，欣赏数学，从而促进他们数学思维的发展，以达到培养数学学科核心素养的最终目的.那么，在初中数学教学中，教师应如何设计拓展性作业呢？本文结合具体的教学实践，谈谈自己的做法与看法，供大家参考.

一、数学拓展性作业，趣味是“王道”

古人云：兴趣是最好的老师.数学作业要让学生自觉、主动地完成，应具有一定的趣味性.尤其是数学拓展性作业.这类作业，首先，应该是课堂探究的延续，其次，不仅与课本有联系，更是源于课本知识，又高于课本知识，对学生具有一定的挑战性.

比如，在“凸多边形”的教学中，教师不仅要把握好教材内容，更要把所学的知识内容与实际联系起来，设计有关问题让数学走进学生的生活.在课堂上，我提出了如下问题：

如何求这个少加的角的度数？一般情况下，题设应告诉我们已知多边形的边数，然后我们可根据多边形的内角和定理求出它的所有内角的和，减去除这个角外的其余各角之和就是这个少加的角的度数.然而本题中不知多边形的边数，因此无法求出它的内角和.于是我们应该深入、仔细分析，另辟蹊径，探求解题新思路.我们不妨观察多边形的内角和计算公式（n-2）·180°的特点：它是180°的整数倍，而1125°不是180°的整数倍，因此我们可用1125°除以180°，看余下的度数是多少.因为多边形的每个内角都不会大于或等于180°，所以与“余下的度数”的差就是张明同学少加的那个内角的度数.求出了这个角的度数，再求多边形的边数就容易了.

这个问题背景新颖，又是从实际中来，学生倍感亲切，在教师的引导下，他们很快解决了问题.那么这节课后，教师该如何布置作业呢？能否在多边形内角的角度上做文章呢？于是，我布置了如下拓展题，从“网络爬虫”出发，抓住学生的心，以“凸多边形的内角和”为关键词，帮助学生复习旧知，同时注重数学文化与能力的拓展，具体如下：

拓展性作业设计1：网络爬虫是一种互联网网页抓取工具，其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系.图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”.图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的.请你回答下列问题：

把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）.已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何3个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）.若围成这n个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为___________.

解析：设这n个凸多边形中，有k3个三角形，k4个四边形，k5个五边形，…，km个m边形.则这n个凸多边形的内角和为

另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为.矩形边界线段内（不含矩形顶点）有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为.在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为.因此，这n个凸多边形的内角和为

再考虑这n个凸多边形的边数.由于每个凸m边形有m条边，因此，这n个凸多边形的边数和为3k3+4k4+5k5+…+mkm.

另一方面，由条件知在矩形内部的18条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次.而在矩形边界上的12个点，得到12条线段，它们都对应某个凸多边形的边.因此，这n个凸多边形的边数和为18×2+12=48.

则3k3+4k4+5k5+…+mkm=48 ②.

联立①和②，消去k3，得k4+2k5+…+（m-3）km=9.则k4≤9.

图1

又如图1所示的划分符合要求，此时，k3=4，k4=9.

则k4的最大值为9，即这n个凸多边形中，最多有9个四边形.

实践证明，虽然这类问题具有难度，却符合学生的心理需求，很受他们欢迎，对学生的智力发展也具有一定的作用.

二、数学拓展性作业，探究是“上道”

为了加强基础知识、基本运算与基本技能，教师授课应立足于应知应会的内容，但课外作业要注重学生探究能力的培养.数学拓展性作业，一般应起源于当天所学的知识，是当天课堂内容的延伸与拓展，具有探究性.要让学生经过一定的思考和探究才能找到答案，探究之后要让学生获得满足感和成就感.所以从某个角度看，数学拓展性作业，探究是“上道”.

例如，在学习一元二次方程的根与系数的联系，即韦达定理后，教师都要通过例题与练习加强学生对所学内容的理解.我给出了如下问题与学生探讨：

问题1：已知关于x的方程x2-kx-k=0有不等实根，求实数k的取值范围.

问题2：已知关于x的方程x2-kx-k=0的不等实根为x1与x2，且（x1-1）（x2-1）=24，求实数k的值

问题3：已知关于x的方程x2-kx-k=0有不等实根，求两个根的平方和的取值范围.

以上三个问题由浅入深，积极引导学生利用韦达定理，并反映出应用过程中的易错点.那么这节课后，如何让学生的思维能力提高一个层次呢？我给出了如下问题：

拓展性作业设计2：已知关于x的方程x2-kx-k+9999=0的两根都是素数，求k的值.

解析：设方程x2-kx-k+9999=0的两根分别为p、q.

则（p+1）（q+1）=10000=24·54①.

当m=1时，p=9，不是素数，舍去.当m=2时，p=49，不是素数，舍去.当m=3时，p=249，不是素数，舍去.当m=4时，p=1249，是素数.此时，，q=7，也是素数.则p=1249，q=7，k=p+q=1256，符合要求.

则p=19，q=499，k=p+q=518，符合要求.

综上所述，k=518或k=1256.

这道题从一元二次方程根与系数的关系入手，最终落脚点却在讨论与的奇偶性，而解答的每一个步骤都体现了解题者的探究精神与解题毅力.诚然，这类问题具有很强的能力要求，会让部分学生望而却步，但这类拓展题不仅仅是让学生会做，更可培养他们的探究精神与思维品质，所以值得尝试.

三、数学拓展性作业，发展是“正道”

数学教学的最终目的，是发展学生的思维水平与数学能力，因此数学拓展性作业，发展是“正道”，判断数学拓展性作业是否可行，是否有效，应看它能否促进学生思维的发展.数学思维具有批判性、求异性、深刻性和广阔性的特征，笔者认为，数学拓展性作业也应该具有这样的特征.数学课堂上，教师通常推崇一题多解，其实一题多解也是数学拓展性作业的好素材.由于受课堂教学时间的限制，往往让“一题多解”探究意犹未尽.笔者认为，教师应该把它继续引向数学拓展性作业.

拓展性作业设计3：如图2，G为△ABC的重心，点D在CB的延长线上，且，过点D、G的直线交AC于点E，则

课堂上，教师与学生互相探讨，发现了如下解法：

如图3，连接AG，并延长交BC于点F.

图2

图3

设CM=k，则CE=3k，EM=2k，AE=4k.则AC=7k，故

那么，本题还有其他解法吗？请大家课后继续探究.

减负是一个永久的话题，如何给学生减负？教师可以从数学拓展性作业着手.这种作业虽然量大大减少了，但学生的思维没有减弱，学生的学习兴趣反而加强，在倡导培养学生核心素养的当今教育下，这种作业方式值得大家一试并推广.