☉山东省东营市垦利区永安中学 张 群

新课标指出，教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人，要充分体现以人为本的教学理念，尊重学生的个体差异，通过学生自主探索与合作交流，发展学生的空间观念，丰富想象力，引发学生的发散思维和创新意识，不断提高学生的数学素养及综合能力.下面是我在新课标指导下，在“圆的基本概念”一节中的一个教学片段，即“点与圆的位置关系”的探究教学，为几何教学的研究提供了一个非常好的教育教学案例.

图1

教师运用多媒体给出探索题目：

已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8.

（1）以点A为圆心，以6为半径的圆，与点B、C、D有怎样的位置关系？

（2）以点A为圆心，以8为半径的圆，与点B、C、D有怎样的位置关系？

（3）若以点A为圆心，以r为半径作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，有一点在圆外，则r的取值如何？

学生很容易根据点和圆的位置关系的判断方法，解决（1）和（2），但是解决（3）时出现了困难！

教师让学生独立思考2分钟.教师巡视，给予较落后的学生以指导.学生积极投入思考.教师发现学生最需要的是解决问题的方法.

学生经过独立思考，运用投影仪展示出了自己思考的结果：6＜r＜8.

师：大家还有不同的想法吗？

这时，一个数学成绩并不显眼的学生半举起了他的手，他一直不太喜欢数学，认为自己天生就不是学习数学的料儿，缺乏自信，但从学习“圆”一章开始，他好像突然兴趣比以往浓厚了许多，教师一直在等待着、寻找着让他喜欢上数学、建立自信的机会.

生：我不确定我的想法对不对！

师：没有关系，大胆说！说出来或许就是一个真理！

生：我认为r应该大于6，小于10.

这个学生说完后，许多学生不以为然，让他说出为什么.

师：你来讲台上展示一下你画的图形，好让大家更清楚地思考！

他将画的不太规整的图形演示给其他学生，并做了简短的并不工整的说明.

这或许是他第一次登上课堂的讲台做演说！他有些手忙脚乱，有些羞涩，但从他的眼神中可看得出他很高兴！讲完后，他红着脸匆匆地回到了自己的位子上.

师：他的想法对吗？

有些学生通过他的图形再思考后，认为是对的，但有些还是坚持自己的观点.

师：大家有两种想法，究竟哪一种正确？哪一种才是科学道理？

教师借助那个学生的图，清楚地重复了那个学生的想法，给学生指出半径为8时的情况，让学生再仔细思考是否符合条件.

学生的好奇心和求知欲达到高潮！

教师让学生展开第一轮的小组讨论.教师巡视，发现学生能够跨过半径为8的情况，讨论半径再大时是否符合条件，但是到什么时候为止呢？

经过颇有争议的讨论，小组间展示讨论成果时，有三个组确定答案是6＜r＜10.（全班共分6个小组）但其他组提出异议：为什么到10为止呢？

教师让得到确定答案的学生来展示，并讲解.

生：当半径为6时，有两个点在圆外，有一个点在圆上，半径再小，则三个点都在圆外，半径再大，正好至少有一个在圆内，一个在圆外，但到10时，又有一个在圆上，另两个在圆内了，不再符合条件，再大就都在圆内了.

听完这个优生的讲述，学生不约而同地给予了热烈的掌声，多数学生能够理解了.

教师表扬了这名学生以后，又运用几何画板更好地展示了半径依次为6、8、10、再大的情况.学生点头，这说明学生终于理解了这个看似简单的几何动态问题！

师：第一个发现“新大陆”的是——

学生集体回答着那个同学的名字.

教师提议给他掌声.

学生给了他赞许、肯定的掌声.

我很兴奋，终于又让一个孩子走进了数学的思维殿堂，我想他的明天一定会更美好！

师：解决这类题的基本思路是怎样的呢？（激发学生寻找这类动态几何问题的解决方法）

小组内开始展开第二轮激烈的讨论，归纳解决此类动态几何问题的基本思路！

师：一个小组先回答，其他小组补充！

生：先找特殊的情况研究，如此题：先找半径为6时的情形，再找半径为8（一点在圆上，两点在圆外）时的情形，然后是半径为10（两点在圆内，一点在圆上）时的情形，这样中间的就是我们要找的部分了！

教师进行了简要的总结：先找动态中的静态时刻，即找临界线，进而研究中间过程，就可以很容易地解决此类问题.

学生自我探究、小组交流、小组归纳总结，终于清楚地找到了解决此类动态几何问题、分类讨论问题的思路和方法，很好地开拓了思维，扩充了探究几何问题的方法！

【反思】

（1）这个教育教学案例很好地突出新课标的指导思想，以课堂学习为载体，以学生探究为主体，以教师的及时发现、引导为辅助的基本原则，为学生高效学习创造了和谐的学习环境，为学生数学素养的养成提供了很好的空间.

（2）改变了传统的教育教学方式，充分借助教学中的时机，对学生的求知欲、成功欲进行培养和引导，及时给予学生鼓励、表扬、引导，使学生能够从数学中找到满足，找到成功感，进而更加热爱数学.

（3）改变了学生的角色和学习方式，由学生原来的被动地听，改成了今天的主动地讲，由原来的参与当群众，变成了今天的参与当主角，在小组合作交流探究中，优生积极发挥主动能动性，给予学困生适当的指导与帮助，使其有了一定的上进渴望，希望能够给予他们回报，产生了要对小组做出贡献的责任感，让自己逐渐成为一名可以帮助其他人的优生，这就让他们主动去学习，主动去探究，主动去参与，将课堂以生为本的理念贯彻得非常到位.

（4）很好地将几何探究问题的方法加以总结、归纳，让学生从探究中发现，从交流中归纳，从归纳后应用，从应用中体会、掌握，掌握学习探究几何问题的方法，使得学生能够以“法”来学习，以不变应万变.