☉重庆市璧山中学 王 伟

☉重庆市璧山区教科所 刘志成

新教材最突出的特点是加强了真实的问题情境引入，强调关注学生的探究性活动，更关注学习过程中的学习方式.但教师在使用教材时，在思维的严谨性上有些淡化，容易造成课堂教学中出现认识上的盲点，使得学生学习时产生不少困惑，又无法得到合理的解释.下面将“平方根（第二课时）”的课堂教学实录展示给大家.

一、课堂实录

问题1：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积较大的正方形？

图1

学生操作后，展示了如下成果：

生1：可以拼成图2.

生2：可以拼成图3.

生3：可以拼成图4.

图2

图3

图4

问题2：你知道你们设计的大正方形的边长是多少吗？为什么？

生：由于大正方形的面积为S=2，设边长为a，那么a2=2，那么a=

问题3：你知道有多大吗？

生：比1大但比2小.

师：你是怎么知道的？

生：a=1时，S=1，a=2时，S=4.由于S=2，所以比1大但比2小.

师：回答很漂亮！那么，我们能不能做更精确的估计？

学生讨论后，感觉有些吃力.

师：请大家算一算a=1.4和a=1.5时S的值，能得到什么结论？

师：那么我们能再精确到小数点后两位吗？请大家计算a=1.41和a=1.42时S的值.

以下略，探索过程如下：

表1

教师小组点评：通过学生的探究过程，体验无限不循环小数的存在，为无理数概念的引入做好了铺设.

问题4：还可以继续下去吗？继续探索，并判断：a是有限小数吗？

生：还可以继续进行.

师：那么a是有限小数吗？

生：不知道.

生：好像是哟.但不太肯定！

生∶1.414213562.

问题5：你发现有理数是什么样的小数？

生：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

师：像上面研究过的a2=2中的a是什么小数呢？

学生开始犹豫.最后比较顺利回答：无限不循环小数.

教师小组点评：本环节通过教师指导，师生合作，通过有理数与无理数的对比，进一步感知数域的扩展，为无理数概念的形成打下了基础.

2.形成结论

3.有理数与无理数的主要区别

无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数，任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.

4.小结

在课堂小结时，教师提出：这节课你学到了什么？你还有什么困惑？

在民主的氛围中学生开始慢慢议论，接着声音越来越大，在学生的质疑中，下课铃声响起，教师来不及了解学生的困惑就匆忙下课了.

小组总体评价：该课积极为学生搭建学习交流的平台，学生参与度很高，学生学习方式多样化，体现了新课改的精神.

二、两种不同观念

课下，笔者了解了学生对这节课的想法，并将其梳理出来，与本组教师进行了交流，在交流中，笔者发现了两种不同观念的交锋，现呈现如下：

观点1：图2、图3、图4为什么是正方形？

学生观点：我们拼出了图2、图3、图4，我们感觉是正方形，但如何证明呢？

教师观点：这个问题不需要证明，让学生感知到就可以了，一方面这是明显的结论，另一方面，证明正方形是初二下学期的内容，现在证明不可取.

学生观点：从我们的探究看，也只是探究了其中的一部分，计算器上显示的是有限的几位数，你怎么知道它真的就是无限不循环小数呢？

教师观点：在教材P88的“阅读与思考”中出现了“为什么说不是有理数？”，因为涉及了分式的有关问题，这是初二下学期才学习的内容，同时证明这个问题需要花太多的时间，会导致教学内容无法完成，所以可以不证明.

观点3：为什么要说0.1010010001……是无理数？

学生观点：在翻阅后面的教材“实数”时，我看到了“实数与数轴上的点一一对应”，我知道如、π等这样的无理数可以在数轴表示出来，那么0.1010010001……该如何在数轴上表示呀？如果不能表示出来，说明无理数不是都在数轴上.

教师观点：我们也不知道如何在数轴上刻画，只做结论陈述，让他们记住就行了，在我们的教辅资料上出现了这样的数，指导学生抓住概念就可以了，它首先满足无限，还有不循环，它肯定是无理数.因为它是客观存在的，万一在考试中出现了怎么办？因此应该讲.

对以上学生想法，有教师认为是钻“牛角尖”，笔者不这样认为，以上两种观念的交锋反映了我们教材和课堂教学存在的问题，从而造成学生认知上的“盲点”.

三、解决问题的办法

杜威把教学分为五个步骤：设计情境，产生真实的问题，从事必要的观察，展开问题可能的途径和方法，检验和验证解决问题的方法是否有效.

为什么教师认可的好课，学生却有如此多的疑惑？笔者经过长时间的思考，认为所谓“盲点”就是教材没有做出明确的解释，课堂教学也容易忽略而造成学生认知障碍的地方.根据杜威的教学理论便得到了合理的解释.就本课教学具体分析如下：

1.设计真实、合情的情境，是学习的前提

图5

新的问题又出现了，那就是图2、图3、图4是正方形吗？教材没有证明，教师也往往默认了.要解决这个问题，其实学生是有基础的.笔者查阅了小学关于正方形的描述——“四个角相等，四条边相等的四边形叫作正方形”，我们结合全等三角形的知识就可以解决.

对“正方形的问题”，一方面有新版教材的问题，另一方面教师在处理教材时，认为大家都认可，所以忽略了证明.如果教师不解决学生提出的“正方形的问题”，那么我们就缺乏合理展示的背景，这是本课知识结构得以发展的基础.因此建议教材提出“你拼出的图形是正方形吗”，以此警醒我们的课堂教学，更真实地展示的背景，使得课堂教学探究活动得以有力推进，这何尝不是教学的亮点之一呢？

2.设计合理的探究途径，是学习的核心

现代教学理论认为，教学目标就是要关注学生课堂的达成度，而不是追求教学内容的完整性，面对学生的困惑，教师应当有所作为.学习中学生产生了困惑，就是教学活动中的闪光点，教师应及时抓住，适时引导，合情推理，那么课堂教学就会变得更有活力.

笔者认为，在初中阶段，对于无限无规律问题，使用不完全归纳法得不到合理说明的，使用不完全归纳法学生是能够接受的.因此，我们不仅应该深刻理解教材反映的数学知识，准确解析概念及其反映的数学思想方法，而且应当把握学生理解概念时容易产生困难或错误的地方，并在此过程中，让知识留下思维的印记，实现数学能力的发展，培育理性精神.为了解决这个问题，建议将“阅读与思考”作为教材学习内容重要的组成部分加以学习，那么问题便可得到很好的解释.

3.设计检验和验证问题场所，是学习的保障

“0.1010010001……是无理数”无法得到有效验证，因为“0.1010010001……是无理数”在数轴上无法做准确的刻画.为此教材是这样描述的：很多平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫作无理数.例如都是无理数，π=3.14159265……也是无理数.这些无理数都有真实的背景，如果按极限来理解0.1010010001…=是一个发散的数，在实数范围内我们对这个数如何验证呢？有教师认为它是一个“人造数”，“告诉学生它真的在数轴上就行了，只是现在我们知识有限无法刻画而已”，问题真的是这样吗？笔者也无法正面回答这个问题，所以咨询了有关人士，他们对这个问题也无法做出合理的解释，笔者查阅了相关资料也没有相关介绍，大家都回避了这个问题，看来教材中没有说这个问题是有一定道理的.

通过反思，笔者认为要把教材“盲点”化为教学“亮点”，这是两个层面的问题.教材主要面对“教什么”的问题——为了有效地达成课程标准所设定的素养目标，课程研制者建议“一般应该教什么”.课堂教学内容同时面对两个问题：第一，针对具体情境，对于这一班乃至这一组、这一个学生，为使他们或他（她）更有效地达成既定的课程目标，“实际上需要教什么”；第二，为使这一班乃至这一组、这一个学生能更好地掌握既定的课程内容，“实际上最好用什么去教”.因此，面对教材中的“盲点”，关键还是“怎么教”的问题.在知识的学习探究中，不应因自己的“疏忽”而造成学习者学习的“盲点”，执教者应抓住“盲点”设计合情、真实的情境，使用合理的探究途径和方法，这样学习者才能习得数学思维和数学方法而产生“亮点”，在数学的天地里留住一群热爱数学的人！